Kann die Raumzeit auch ohne Quelle gekrümmt werden? [Duplikat]

Question

Einsteins Gleichung in Abwesenheit einer Quelle (dh $T_{ab}=0$) $$R_{ab}-\frac{1}{2}g_{ab}R=0$$ hat die Lösung $$R_{ab}=0.$$

Aber ich denke $R_{ab}=0$bedeutet nicht , dass alle Komponenten des Riemann-Christoffel-Krümmungstensors$R^c_{dab}$Null sein (oder doch?). Daraus kann ich schließen, dass die Raumzeit auch ohne Quelle gekrümmt werden kann?

Answer 1

Was Sie fragen, wird als Vakuumlösung für die Feldgleichungen bezeichnet. Dies bedeutet nicht, dass es nirgendwo eine Masse gibt , sondern dass wir einen Bereich unserer gekrümmten Raumzeit betrachten, in dem es keine Masse gibt.

Die Schwarzschild-Lösung ist zum Beispiel eine "Vakuumlösung", weil wir den Bereich außerhalb der Zentralmasse betrachten, in dem es keine Materie gibt, in dem aber die Krümmung ungleich Null ist.

Sie haben Recht, dass das Verschwinden der Komponenten des Ricci-Tensors nicht das Verschwinden der Komponenten des vollständigen Riemann-Tensors bedeutet.$R_{\mu\nu}=0$ ist eine Vakuumlösung, ${R^\alpha}_{\beta\mu\nu}=0$ ist flache Raumzeit.

Answer 2

Dies ist eine einfache Antwort:

Ich würde dies im selben Licht sehen wie die folgende Frage:

Tut

$$ {\bf \nabla \cdot E} = \frac{\rho}{\epsilon_0} $$

Null elektrisches Feld in Region ohne Ladungsdichte implizieren?

Darauf lautet die Antwort eindeutig "Nein".

Und als Beispiel: Die Astronauten auf dem Mond. Sie waren dort in einem ziemlich guten Vakuum und ließen Federn und Hämmer fallen, die dann wie Geodäten abhoben.

Answer 3

Du hast recht. $R_{ab}=0$ bedeutet nicht $R^{a}_{bcd}=0$. Für eine Sache,$R_{ab}$ hat 10 Komponenten (in $n=4$ Dimensionen), wohingegen $R^{a}_{bcd}$ hat $20$Komponenten. Das einfachste Beispiel, das ich mir vorstellen kann, ist die Schwarzschild-Lösung$R_{ab}=0$ überall aber $R^{a}_{bcd}\neq0$. Wenn Sie die Einbeziehung einer kosmologischen Konstante zulassen, ist die De-Sitter-Metrik ein Beispiel für eine leere Lösung mit nicht trivialer Raumzeitkrümmung. Wie hier ausgeführt

https://physics.stackexchange.com/a/105336/96768

Eine Raumzeit, die Gravitationswellen enthält, ist leer, aber mit einem nicht trivialen Riemann-Tensor.

Answer 4

Stimmt. Das heißt aber nicht, dass die Krümmung aus dem Nichts kommt. Die Feldgleichung beschreibt die Krümmung (lokal) nur an einem Punkt von$T_{\mu \nu}$am selben Punkt (Da alles in einem Differentialverteiler aufgebaut ist und Tangentenräume an jedem Punkt nicht miteinander in Beziehung stehen). Wenn$T_{\mu \nu}$ Ist an einem Punkt Null, erhalten Sie eine Vakuumlösung.