Kann jedes invertierbare Monoid ohne Stornierung in eine Gruppe eingebettet werden?

Question

Ein Monoid ist invertierbar frei, wenn$xy=1$ impliziert $x=y=1$ für alle $x,y$.

Frage: Kann jedes stornierbare invertierbare Monoid in eine Gruppe eingebettet werden?

Ich bin mir ziemlich sicher, dass ein Quotient des freien Produkts eines solchen Monoids mit seinem Spiegel (dies ist das Monoid mit den gleichen Elementen und der gleichen Identität, aber umgekehrter Multiplikation, dh $x\cdot y=yx$) ist die "allgemeinste" Gruppe, in die es eingebettet werden kann.

Dies ist die nicht kommutative Version der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen.

Erscheint dies irgendwo in der Literatur als Problem / Satz / Satz?

Answer 1

Nein, das gilt nicht einmal für endlich erzeugte Monoide. Nimm eine Halbgruppe$S$Das ist stornierend und nicht in eine Gruppe eingebettet (erste Beispiele wurden von Malcev konstruiert). Betrachten Sie das Monoid$S^1$ welches ist $S\sqcup\{1\}$ mit $1$ a (neu wenn $S$ist ein monoid) neutrales Element. Dann$S^1$ist ein invertierbares Monoid, das sich nicht in eine Gruppe einbettet. Es ist stornierend, wenn$S$ hat kein neutrales Element.