Klassifizierung von kompakten glatten Verteilern der Abmessung 3.

Jan 04 2021

Ich kenne die Klassifizierung von glatten Verteilern mit kompakter Abmessung 2. Sie unterscheiden sich von einer Kugel mit n "Ohren" (zusammenhängende Summe von n Tori) oder einer Kugel mit m Mobiusstreifen (zusammenhängende Summe von m realen Projektionsebenen). Ich weiß nur, dass die von Perelman bewiesene geometrische Hypothese etwas über 3 Verteiler aussagt, aber ich kann keine ähnliche genaue Klassifizierung wie oben für kompakte glatte Verteiler der Dimension 2 finden. Gibt es eine ähnlich einfache Klassifizierung? WENN ja, könnten Sie einen Link dazu hinterlassen oder ihn in einen Kommentar schreiben?

Antworten

3 MichaelAlbanese Jan 04 2021 at 21:41

Eine Mannigfaltigkeit wird als Primzahl bezeichnet, wenn einer der beiden Summanden immer dann homöomorph zu einer Kugel ist, wenn sie zu einer verbundenen Summe homöomorph ist.

In Dimension zwei sind die geschlossenen Hauptverteiler $S^2$, $\mathbb{RP}^2$, und $S^1\times S^1$. Durch die Klassifizierung von Oberflächen ist jeder geschlossene zweidimensionale Verteiler homöomorph zu einer zusammenhängenden Summe von Hauptverteilern. Im orientierbaren Fall sind die verbundenen Summanden bis zu eindeutig$S^2$ Summanden (Sie können immer Summe mit verbinden $S^2$ohne etwas zu ändern). Im nicht orientierbaren Fall haben wir keine Eindeutigkeit mehr als$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ ist homöomorph zu $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$. Man kann jedoch die Einzigartigkeit (bis zu sphärischen Summanden) wiederherstellen, wenn man die Verwendung von verbietet$S^1\times S^1$ summands.

Ähnliches gilt für geschlossene Drei-Mannigfaltigkeiten. Der Primzerlegungssatz für Drei-Mannigfaltigkeiten besagt, dass jeder geschlossene Drei-Mannigfaltigkeit zu einer verbundenen Summe von Prim-Mannigfaltigkeiten homöomorph ist. Im orientierbaren Fall sind die verbundenen Summanden bis zu eindeutig$S^3$summands. Wenn$M$ ist nicht orientierbar, dann gilt die Eindeutigkeit nicht mehr, man kann jedoch die Eindeutigkeit wiederherstellen, indem man die Verwendung von verbietet $S^2\times S^1$ als einer der verbundenen Summanden.

Der Hauptunterschied zwischen den Dimensionen zwei und drei besteht darin, dass es unendlich viele drei Hauptverteiler gibt. Im orientierbaren Fall lassen sie sich in drei Kategorien einteilen:

  1. diese Verteiler abgedeckt durch $S^3$,
  2. der Verteiler $S^2\times S^1$, und
  3. orientierbare asphärische Verteiler.

Diese Kategorien können auch über die Grundgruppe charakterisiert werden: endliche, unendliche zyklische bzw. unendliche nichtzyklische.

Im nicht orientierbaren Fall gibt es jedoch zu viele Hauptverteiler, um eine Klassifizierung zuzulassen; siehe die Antwort auf meine Frage .

In Dimension vier haben wir selbst im orientierbaren Fall keine Einzigartigkeit mehr. Beispielsweise,$(S^2\times S^2)\#\overline{\mathbb{CP}^2}$ ist homöomorph zu $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}^2}\#\overline{\mathbb{CP}^2}$. Beachten Sie die Ähnlichkeit mit der Tatsache, dass$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ ist homöomorph zu $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$.