Klassifizierung von (nicht unbedingt verbundenen) kompakten Lie-Gruppen
Ich suche eine Klassifizierung von kompakten (nicht unbedingt verbundenen) Lie-Gruppen. Es ist klar, dass alle diese Gruppen Erweiterungen einer endlichen "Komponentengruppe" sind.$\pi_0(G)$ durch eine kompakte verbundene Lie-Gruppe $G_0$:: $\require{AMScd}$ \ begin {CD} 0 @ >>> G_0 @ >>> G @> p >> \ pi_0 (G) @ >>> 0 \ end {CD} Die Klassifizierung kompakter verbundener Lie-Gruppen ist mir bekannt, also meine Die Frage ist, wie solche Erweiterungen zu klassifizieren sind.
UPDATE: Ich vermute, dass Folgendes zutrifft (aufgrund von @LSpice, mit meiner zusätzlichen Anforderung, dass $H$, $P$ sind endlich):
Hypothese :$G$ kann immer als geschrieben werden $$ G= \frac{G_0 \rtimes H}{P} $$ für endliche Gruppen $H,P$, wo $P \subseteq Z(G_0 \rtimes H)$.
UPDATE 2: @LSpice hat dies unten für die schwächere Anforderung bewiesen, dass$P$ schneidet $G_0$ innerhalb $Z(G_0)$und lieferte ein Gegenbeispiel wo $P$ kann nicht als zentral angesehen werden.
UPDATE 3: Eine verbesserte Frage finden Sie unter Verbesserte Klassifizierung kompakter Lie-Gruppen (die ich hier nicht schreibe, um übermäßige Unordnung zu vermeiden.)
Eine weniger nützliche Behauptung aus meiner ursprünglichen Frage: eine solche $G$ kann konstruiert werden aus $G_0$ in drei Schritten:
Nehmen Sie das direkte Produkt von $G_0$ mit einer endlichen Gruppe.
Quotientieren Sie das Ergebnis durch eine endliche Untergruppe seines Zentrums.
Erweitern Sie eine endliche Untergruppe von $\mathrm{Out}(G_0)$ durch das Ergebnis.
(Schritt 3 kann immer sein, ist im Allgemeinen kein halbdirektes Produkt.)
Antworten
$\DeclareMathOperator\U{U}$Betrachten Sie die Matrizen $u = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ && 0 & 1 \\ && 1 & 0 \end{pmatrix}$ und $v = \begin{pmatrix} 0 && 1 \\ & 0 && 1 \\ -1 && 0 \\ & -1 && 0 \end{pmatrix}$. Diese gehören zur endlichen Gruppe vorzeichenbehafteter Permutationsmatrizen, daher ist die Gruppe, die sie erzeugen, endlich. Stellen$G_0 = \left\{d(z, w) \mathrel{:=} \begin{pmatrix} z \\ & z^{-1} \\ && w \\ &&& w^{-1} \end{pmatrix} \mathrel: z, w \in \U(1)\right\}$. Schon seit$u d(z, w)u^{-1} = d(z^{-1}, w^{-1})$ und $v d(z, w)v^{-1} = d(w, z)$, die Gruppe $G$ generiert von $G_0$, $u$, und $v$ hast $G_0$als seine Identitätskomponente. Nun lass$G_0 \rtimes H \to G$ eine Deckung sein, die sich auf die Aufnahme beschränkt $G_0 \to G$, und lass $\tilde u$ ein Element von sein $H$ wessen Bild liegt in $u G_0$;; Sagen wir, das Bild ist$u d(z, w)$. Dann$\tilde u^2$ Karten zu $(u d(z, w))^2 = u^2 = d(-1, 1)$, so $d(-1, 1) \rtimes \tilde u^2$ besteht in $\ker(G_0 \rtimes H \to G)$. Wenn$\tilde v$ ist ein Element von $H$ wessen Bild liegt in $v G_0$, dann $\tilde v(d(-1, 1) \rtimes \tilde u^2)\tilde v^{-1}$ besteht in $d(1, -1) \rtimes H$ist daher nicht gleich $d(-1, 1) \rtimes H$. Das ist,$\ker(G_0 \rtimes H \to G)$ ist nicht zentral in $G_0 \rtimes H$.
Was wir tun können, ist (im Allgemeinen nicht nur für das spezifische Beispiel oben) eine endliche Untergruppe zu finden $H$ von $G$ so dass die Multiplikationskarte $G^\circ \times H \to G$ ist surjektiv und sein Kernel zentralisiert $G^\circ$. (Im konkreten Beispiel oben könnten wir nehmen$H = \langle u, v\rangle$.)
$\DeclareMathOperator\Ad{Ad}\DeclareMathOperator\Gal{Gal}\DeclareMathOperator\Norm{Norm}\DeclareMathOperator\Weyl{W}\DeclareMathOperator\Zent{Z}\newcommand\C{{\mathbb C}}\newcommand\R{\mathbb R}\newcommand\adform{_\text{ad}}\newcommand\scform{_\text{sc}}\newcommand\X{\mathcal X}$Um dies zu beweisen, werde ich einige Teile der Strukturtheorie verwenden:
- Alle maximalen Tori in $G$ sind $G^\circ$-konjugieren.
- Alle Borel-Untergruppen von $G_\C$ sind $G^\circ_\C$-konjugieren.
- Für jeden maximalen Torus $T$ im $G$, die Karte $\Weyl(G^\circ, T) \to \Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ ist ein Isomorphismus.
- Wenn $G\scform$ und $(G_\C)\scform$ sind die einfach verbundenen Cover der abgeleiteten Gruppen von $G^\circ$ und $G^\circ_\C$, dann $(G\scform)_\C$ gleich $(G_\C)\scform$.
- Jede kompakte Lie-Gruppe hat eine endliche Untergruppe, die jede Komponente erfüllt .
Ich brauche nur (4), um das für jeden maximalen Torus zu beweisen $T$ im $G$, die Karte von $T$ zu der Menge der konjugationsfixierten Elemente von $T/\Zent(G^\circ)$ist surjektiv. Dies ist wahrscheinlich eine eigenständige Tatsache für Theoretiker realer Gruppen.
Betrachten wir nun Dreifache $(T, B_\C, \X)$ wie folgt: $T$ ist ein maximaler Torus in $G$;; $B_\C$ ist eine Borel-Untergruppe von $G^\circ_\C$ enthaltend $T_\C$mit einer resultierenden Menge einfacher Wurzeln $\Delta(B_\C, T_\C)$;; und$\X$ ist eine Menge, die aus einem reellen Strahl in jedem komplexen einfachen Wurzelraum besteht (dh die Menge positiver reeller Vielfacher einiger fester Nicht-$0$Vektor). (Entschuldigung für das Modifikatorpaar "komplex einfach".) Ich werde diese "Pinnings" nennen, obwohl sie nicht mit der üblichen Terminologie übereinstimmen (bei der wir einzelne Wurzelvektoren auswählen, keine Strahlen). Das behaupte ich$G^\circ/\Zent(G^\circ)$ wirkt einfach transitiv auf den Satz von Stecknadeln.
Sobald wir Transitivität haben, ist die Freiheit klar: wenn $g \in G^\circ$ stabilisiert ein Paar $(T, B_\C)$, dann liegt es in $T$und stabilisiert so jeden komplexen Wurzelraum; aber dann, damit es eine Auswahl von Strahlen stabilisiert$\X$muss es die Eigenschaft haben, dass $\alpha(g)$ ist positiv und real für jede einfache Wurzel $\alpha$;; aber auch$\alpha(g)$ ist eine Norm-$1$ komplexe Zahl, daher trivial, für jede einfache Wurzel $\alpha$daher für jede Wurzel $\alpha$, so dass $g$ ist zentral.
Für die Transitivität, da (1) alle maximalen Tori in $G$ sind $G^\circ$-Konjugieren, also (2) für jeden maximalen Torus $T$ im $G$, die Weyl-Gruppe $\Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ wirkt transitiv auf die Borel-Untergruppen von $G^\circ_\C$ enthaltend $T_\C$und (3) $\Weyl(G^\circ, T) \to \Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ ist ein Isomorphismus, es genügt zu zeigen, dass alle möglichen Mengen $\X$sind konjugiert. Hier ist das Argument, das ich mir ausgedacht habe, um zu zeigen, dass sie gerade sind$T$-konjugieren; Ich denke, es kann wahrscheinlich viel weniger umständlich gemacht werden. Repariere eine einfache Wurzel$\alpha$und zwei nicht-$0$ Elemente $X_\alpha$ und $X'_\alpha$des entsprechenden Wurzelraums. Dann gibt es eine positive reelle Zahl$r$ und eine Norm-$1$ komplexe Zahl $z$ so dass $X'_\alpha = r z X_\alpha$. Wählen Sie eine Norm-$1$ komplexe Zahl $w$ so dass $w^2 = z$. Es gibt dann ein einzigartiges Element$s\adform$ von $T_\C/\Zent(G^\circ_\C)$ so dass $\alpha(s\adform) = w$, und $\beta(s\adform) = 1$ für alle einfachen Wurzeln $\beta \ne \alpha$. Mit (4) können wir einen Aufzug wählen$s\scform$ von $s\adform$ zu $(G\scform)_\C = (G_\C)\scform$, was notwendigerweise im Vorbild liegt $(T_\C)\scform$ von (der Schnittpunkt mit der abgeleiteten Untergruppe von) $T$, und legen $t\scform = s\scform\cdot\overline{s\scform}$. Dann$$ \alpha(t\scform) = \alpha(s\scform)\overline{\overline\alpha(s\scform)} = \alpha(s\scform)\overline{\alpha(s\scform)^{-1}} = w\cdot\overline{w^{-1}} = z, $$ und in ähnlicher Weise $\beta(t\scform) = 1$ für alle einfachen Wurzeln $\beta \ne \alpha$. Nun das Bild$t$ von $t\scform$ im $G^\circ_\C$ besteht in $T_\C$ und ist durch Konjugation fixiert, liegt also in $T$;; und$\Ad(t)X_\alpha = z X_\alpha$ liegt auf dem Strahl durch $X'_\alpha$.
Schon seit $G$ wirkt auch auf den Satz von Pinnings, wir haben eine gut definierte Karte $p : G \to G^\circ/\Zent(G^\circ)$ das beschränkt sich auf die natürliche Projektion auf $G^\circ$. Jetzt$\ker(p)$ erfüllt jede Komponente, aber es enthält $\Zent(G^\circ)$, also muss es nicht endlich sein. Anwenden von (5) auf die Lie-Gruppe$\ker(p)$ ergibt die gewünschte Untergruppe $H$. Beachten Sie, dass, wie in Ihrer verbesserten Klassifizierung gefordert , die Konjugation durch ein beliebiges Element von$H$ behebt ein Pinning, daher muss es, wenn es innerlich ist, trivial sein.