Kombinatorisches Problem - Auswahl $6$ Karten aus $32$-Kartendeck, so dass es genau drei verschiedene Anzüge gibt (Einschluss-Ausschluss)

Question

Angenommen, wir haben ein Deck von $32$ Karten mit $8$Karten von jeder der vier Farben. Wie können wir sechs Karten so auswählen, dass sich unter den ausgewählten Karten Karten mit genau drei verschiedenen Farben befinden?

Ich glaube, das Einschluss-Ausschluss-Prinzip ist der Weg, es zu lösen, wobei wir zuerst die Anzahl der insgesamt zu wählenden Wege zählen $6$ Karten aus $32$ (welches ist $\binom{32}{6}$), dann schließen Sie die Anzahl der Kombinationen aus, bei denen genau zwei der Anzüge fehlen (dh $\binom{4}{2}\binom{16}{6}$) und fügen Sie dann durch die Einschluss-Ausschluss-Formel die Kombinationen hinzu, bei denen alle drei Farben fehlen (dh $\binom{4}{3}\binom{8}{6}$). Die Anzahl der Kombinationen von allen$4$ fehlende Anzüge sind natürlich Null.

Meine Frage ist - wo ist meine Logik falsch? Ich weiß, dass es so ist, kann aber den Fehler nicht erkennen.

Answer 1

Es ist besser, die Hände zu zählen, die in genau einem Anzug nichtig sind .

Wenn wir es versuchen $\binom{24}6 - \binom4 2 \binom{16}6 + \binom4 3\binom8 6$Wir erhalten die Anzahl der Hände, die in mindestens einer Nichtigkeitsklage ungültig sind, da wir nur die Überzählung der Multiplikations-Leeren subtrahieren, während wir die gesamte Anzahl der Multiplikationsanzüge subtrahieren müssen, um die Anzahl mit genau einer Leerenanzug zu erhalten nichtige

Diese Zahl ist viermal so groß wie die Anzahl der Hände, die beispielsweise in nichtig sind.$\;$$\ spadesuit $, das auf $ 3 $ Weise kombiniert werden kann, um Hände zu bilden, die in $ 2 $ Anzügen ungültig sind , und die Überzählung zu beseitigen, indem die $ 3 $ Möglichkeiten hinzugefügt werden, auf denen die Hand in $ 3 $ Anzügen in Kombination mit dem $ \ spadesuit $ nichtig sein kann um uns $ 4 [\ binom {24} 6 - 3 \ binom {16} 6 +3 \ binom8 6] $ zu geben

Answer 2

Hier gibt es zwei Probleme. Das erste ist, dass die Standardformel für Einschluss und Ausschluss davon ausgeht, dass Sie zunächst Ereignisse subtrahieren, bei denen mindestens eines fehlt, sodass alles, bei dem zwei fehlen, zweimal gezählt wird, drei fehlen dreimal gezählt werden usw., und das bedeutet nur Sie müssen einmal addieren oder subtrahieren, und was Sie abwechselnd tun.

Hier subtrahieren Sie zunächst Dinge, bei denen zwei fehlen. Dies bedeutet, dass Sie alles mit drei fehlenden drei Mal subtrahiert haben (aus drei Farben können Sie ein Paar auf drei Arten auswählen). Sie müssen also die doppelte Anzahl von Möglichkeiten hinzufügen , damit drei Farben fehlen. (Wenn es eine mögliche Situation wäre, müssten Sie dreimal so viele Möglichkeiten subtrahieren, bis vier fehlen: Sie hätten diese Konfigurationen bisher sechsmal subtrahiert und achtmal hinzugefügt.)

Das zweite Problem ist, dass Sie nicht alle Situationen berücksichtigt haben, in denen alle vier Anzüge vorhanden sind. Nachdem Sie die Änderung gegenüber dem vorherigen Absatz vorgenommen haben, haben Sie die Anzahl der Möglichkeiten berechnet, mindestens drei Farben unter den ausgewählten Karten zu haben.