Kompakt eingebettet in $L^p(0,1)$ ist aber kein Unterraum von $C^0[0,1]$

Question

Durch den Rellich-Kondrachov-Satz weiß man, dass die Einbettung $H^1(0,1) \subset L^2(0,1)$ ist kompakt.

Andererseits hat man durch Sobolev-Ungleichungen auch $H^1(0,1) \subset C^0[0,1]$ (in der Tat sogar $C^{0,\frac{1}{2}}$ in diesem eindimensionalen Fall unter Verwendung des Grundsatzes der Analysis und einiger Cauchy-Schwartz-Argumente).

Meine Frage ist, ob es einen "Zwischenunterraum" im folgenden Sinne gibt.

Gibt es nämlich einen Hilbert-Raum? $H$ das ist kompakt eingebettet in $L^p(0,1)$ für einige $p\geq 1$und das ist kein Unterraum von $C^0[0,1]$?

Answer 1

Ja, solche Hilbert-Räume existieren und sie sind ein Sonderfall von fraktionierten Sobolev-Räumen . Zum$\alpha\in(0,1/2)$ wir haben $H^\alpha(0,1)\subset L^2(0,1)$ per Definition, und man kann zeigen, dass die Schrittfunktion, die ist $1$ auf $(1/2,1)$ und $0$ sonst ist in $H^\alpha(0,1)$. Da diese Funktion nicht kontinuierlich ist,$H^\alpha(0,1)$ wird nicht eingebettet $C^0[0,1]$.

Siehe auch Beweis, dass die charakteristische Funktion einer begrenzten offenen Menge in ist$H^{\alpha}$ iff $\alpha < \frac{1}{2}$und zu welchen fraktionierten Sobolev-Räumen gehört die Schrittfunktion? (Sobolev-Slobodeckij-Norm der Schrittfunktion) für weitere Details.

Es ist auch bekannt, dass $H^\alpha(0,1)$ eingebettet kompakt in $L^2(0,1)$ zum $\alpha\in (0,1/2)$. Dies folgt aus Satz 7.1 in diesem PDF .