Komplementäre Unterräume, Wahr/Falsch-Frage

Aug 15 2020

Richtig oder falsch?

$W_1$,$W_2$und$W_3$sind Unterräume aus dem Vektorraum$V$. Wenn$W_1 ⊕ W_2 = V$und$W_1 ⊕ W_3 = V$, dann$W_2 = W_3$.

Mir wurde tatsächlich diese kleinere Frage bei einer Prüfung gestellt und ich sagte, dass sie wahr sei, aber mir wurde später gesagt, dass sie falsch sei. Kann mir jemand erklären, warum, damit ich intuitiv in meinem Kopf sehen kann, dass es tatsächlich falsch ist. Nur dann kann ich ein Gegenbeispiel finden.

Danke im Voraus.

Antworten

1 MaJoad Aug 15 2020 at 21:35

$W_2$und$W_3$sind isomorph, sind aber möglicherweise nicht derselbe Unterraum.

Eine Möglichkeit, dies zu betrachten, besteht darin, zunächst eine Basis auszuwählen$B$von$W_1$. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, diese Basis zu einer Basis von zu erweitern$W_1 \oplus W_2$, also die zusätzlichen Vektoren hinzugefügt$B$kann verschiedene Unterräume umfassen.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, sich einen Automorphismus vorzustellen$\alpha$von$V$, (dh$\alpha:V \to V$ist eine invertierbare lineare Abbildung). Nehme an, dass$W_1$ist ein invarianter Unterraum von$\alpha$. Dann$W_1 \oplus \alpha (W_2)=V$für alle solche$\alpha$.

1 Surb Aug 15 2020 at 21:29

Es ist in der Tat falsch! Das hast du zum Beispiel$$\mathbb R^2=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(0,1)\}=\text{Span}\{(1,0)\}\oplus \text{Span}\{(1,1)\},$$aber$$\text{Span}\{(1,1)\}\neq \text{Span}\{(0,1)\}.$$