Können $\mathbb{Q}(x^3,y^3,x+y)$ von nur zwei Elementen erzeugt werden?

Question

Lassen $\mathbb{Q}(x,y)$ sei das Feld der rationalen Funktionen in den Variablen $x, y$ mit rationalen Koeffizienten und betrachten ihr Unterfeld $K=\mathbb{Q}(x^3,y^3,x+y)$. Gibt es da?$p, q \in K$ so dass $K=\mathbb{Q}(p,q)$? Wenn die Antwort positiv ist, können Sie diese beiden Elemente explizit finden?

Diese Frage wurde von reuns in seiner bemerkenswerten Antwort auf meinen vorherigen Beitrag gestellt https://math.stackexchange.com/questions/3902911/subextensions-of-finitely-generated-fields. Wenn ich meiner Intuition folgen sollte, würde ich wetten, dass die Antwort negativ ist, aber ich habe keine Ahnung von einem möglichen Beweis. Jede Hilfe ist willkommen.

Answer 1

Wir haben $K={\bf Q}(x,y)$.

weil $(x+y)^3-x^3-y^3=3xy(x+y)$ damit $xy\in K$ und $x=(x^3+xy(x+y))/((x+y)^2-xy)$.