Können wir definieren $z^{\frac{1}{2}}$ als holomorphe Funktion auf $\mathbb{C}\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$?
Erwägen $$z^{\frac{1}{2}}:=e^{\frac{1}{2}(\log|z|+iarg(z))}.$$
Wir können das zum Beispiel sehen, $z^{\frac{1}{2}}$ kann als holomorphe Funktion in der Nähe definiert werden $z=\frac{1}{2}$, indem man eine sehr kleine Nachbarschaft von $z=\frac{1}{2}$und definieren Sie eine geeignete $arg(z)$ um es dort kontinuierlich zu machen.
Meine Frage: Kann $z^{\frac{1}{2}}$ als holomorphe Funktion betrachtet werden $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$? Hier$D$ ist die Einheitsplatte in $\mathbb{C}$.
Mit holomorpher Funktion meine ich eine Karte$f:D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.\rightarrow \mathbb{C}$ erfüllt die Cauchy-Riemann-Gleichung auf $D\left\backslash \left\{ 0\right\} \right.$.
Wie unten beantwortet , sehen wir, dass die Antwort auf meine Frage negativ ist. Ich möchte die folgende zusätzliche verwandte Frage berücksichtigen:
Eine zusätzliche Frage : ähnliche Frage, aber diesmal betrachten wir die Domain$D\left\backslash B(0,\epsilon) \right.$für einen sehr kleinen $\epsilon$.
Antworten
Nein das ist nicht möglich. Diese Funktion wäre in einer durchstochenen Nachbarschaft von begrenzt$0$, was machen würde $0$ eine entfernbare Singularität von $z^{\frac{1}{2}}$. Aber dann$0$ wäre auch eine entfernbare Singularität der Ableitung $\frac{1}{2z^{\frac{1}{2}}}$, die bei keine entfernbare Singularität haben kann $0$ weil es nicht in einer durchbohrten Nachbarschaft begrenzt ist.