Können wir Impulserhaltung ohne Energieerhaltung haben?
Nach dem Noether-Theorem bleibt der entsprechende lineare Impuls erhalten, wenn der Hamilton-Operator unter Übersetzungen in eine bestimmte Richtung invariant ist. Und wenn der Hamilton-Operator zeitunabhängig ist, bleibt die Gesamtenergie erhalten.
Nach dieser Logik sollte es möglich sein, einen Hamilton-Operator zu haben, der beispielsweise übersetzungsinvariant, aber nicht zeitinvariant ist $H(p,q,t) = p^2/2 + V(t)$ wo $V$ ist nur eine Funktion von $t$. Dann wäre der Impuls, aber nicht die Energie, eine konservierte Größe. Sollte dies überhaupt nicht intuitiv oder überraschend sein, oder ist dies nur eine weltliche Konsequenz unserer Definition des Hamilton-Operators? Und hat eine solche Immobilie irgendeine Relevanz für reale Probleme?
Antworten
Einfach eine Funktion hinzufügen $V(t)$ zum Hamiltonianer tut nichts - die Bewegungsgleichungen betreffen nur die Ableitungen des Hamiltonianers wrt $q$ und $p$, und das ändert nichts am System. Sie haben einfach einen seltsameren Hamilton-Operator dafür ausgewählt. Energie bleibt erhalten, sie entspricht einfach nicht mehr dem Wert des Hamiltonianers.
Noethers Theorem handelt nicht von der Invarianz des Hamilton-Operators , sondern von der Invarianz der Aktion , und bei der Aktion ist die Addition einer reinen Zeitfunktion zum Integranden eine Addition einer Gesamtzeitableitung (des unbestimmten Integrals der hinzugefügten Funktion) ), was das (In-) Varianzverhalten nicht ändert, um das sich der Satz von Noether kümmert.
Wenn Sie tatsächlich ein System wünschen, in dem der Impuls erhalten bleibt, die Energie jedoch nicht, müssen Sie eine Funktion hinzufügen $V(p,t)$ von Dynamik und Zeit hier, aber Systeme der realen Welt scheinen normalerweise nicht so zu funktionieren - fast alle nützlichen Hamiltonianer sind von der Form $p^2 + V(q,t)$ stattdessen wo $V(q,t)$ ist das Potential eines möglicherweise zeitlich variierenden Kraftfeldes.
Wenn Sie mehr als eine Position haben $q^i$Dann könnten Sie auch einen zeitvarianten, aber impulserhaltenden Hamilton-Operator konstruieren, indem Sie eine Funktion hinzufügen $V(\lvert q^i - q^j\rvert, t)$zum Hamiltonianer. Ich habe das noch nie gesehen, aber ein Spielzeugbeispiel könnten zwei Geräte sein, die im Laufe der Zeit aufgeladen werden - die Coulomb-Kraft zwischen ihnen hätte diese Form. Energie wird nicht konserviert, da es einen Zufluss von Ladung und damit elektrischem Potential gibt, aber der Impuls bleibt erhalten, da es sich nur um zwei Körper handelt, die sich gegenseitig anziehen / abstoßen, ohne dass andere Kräfte beteiligt sind.