Konvergenz von Sturm-Liouville-Eigenfunktionserweiterungen an den Endpunkten eines Intervalls.
Lassen $\{\phi_n\}_{n=0}^\infty$ seien die Eigenfunktionen des regulären Sturm-Liouville-Problems \begin{align} -(p\,\phi')' + q\, \phi = \lambda \, r \, \phi \quad &\textrm{for } x \in (x_1,x_2)\\ - a_i \, \phi(x_i) + b_i\, (p\,\phi')(x_i) = 0 \quad &\textrm{for } i=1,2. \end{align} Annehmen, dass $p$ und $r$sind positiv und zweimal kontinuierlich differenzierbar; annehmen, dass$q$ist kontinuierlich; die Koeffizienten$a_i,b_i$ zum $i=1,2$ sind real.
Lassen $F(x)$ eine zweimal kontinuierlich differenzierbare Funktion für das Intervall sein $[x_1,x_2]$. Unter den obigen Bedingungen weiß ich, dass \ begin {Gleichung} \ textrm {(I)} \ quad \ quad F (x) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ left (\ int_ {x_1} ^ {x_2 } F (z) \, \ phi_n (z) \, r (z) \, \ textrm {dz} \ right) \, \ phi_n (x) \ end {Gleichung} mit punktweiser Gleichheit im offenen Intervall $(x_1,x_2)$.
Meine Frage ist: Auf welchen Wert hat der Endpunkt $(x=x_i)$Serie \ begin {Gleichung} \ textrm {(II)} \ quad \ quad \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ left (\ int_ {x_1} ^ {x_2} F (z) \, \ phi_n (z) \, r (z) \, \ textrm {dz} \ right) \, \ phi_n (x_i) \ end {Gleichung} konvergieren zu? Gibt es einen allgemeinen Ausdruck in geschlossener Form?
Wenn $F(x)$ erfüllt die gleichen Randbedingungen wie die Eigenfunktionen $\phi_n$, dann weiß ich, dass die Reihe (I) konvergiert $F(x)$ gleichmäßig auf das geschlossene Intervall $[x_1,x_2]$ (und so erhalte ich punktweise Gleichheit im geschlossenen Intervall).
Auf der anderen Seite, wenn die Eigenfunktionen $\phi_n$ die einfacheren Randbedingungen erfüllen $\phi_n(x_i)=0$dann muss die Endpunktreihe (II) gegen Null konvergieren. Die Reihe (I) muss dann an den Endpunkten eine endliche Sprungdiskontinuität aufweisen, z$\lim_{x\rightarrow x_2}F(x)$ zu $0$ beim $x=x_2$. Ich interessiere mich jedoch für die allgemeineren Randbedingungen oben.
Mir sind geschlossene Ausdrücke für die Endpunktreihe im Fall einer Fourier-Erweiterung bekannt. Ich frage mich, ob es einen analogen Ausdruck für regelmäßige Sturm-Liouville-Erweiterungen gibt.
Alle Referenzen wäre sehr dankbar.
Bearbeiten: Ich habe hier eine verwandte Frage verlinkt . Gibt es ein analoges Ergebnis für die Sturm-Liouville-Serie? Erhalten wir punktuelle Konvergenz zu$F(x)$ auf das geschlossene Intervall $[x_1,x_2]$ wann immer $b_1,b_2 \neq 0$?
Edit # 2: Der Sturm-Liouville-Artikel in der Encyclopedia of Mathematics besagt, dass mit$b_1,b_2 \neq 0$Die Expansion (I) konvergiert unter den gleichen Bedingungen wie eine Cosinus-Reihe für jede $F\in L^1$. Vermutlich würde dies aus der vorherigen Ausgabe bedeuten, dass wir eine punktuelle Konvergenz zu erhalten$F$ auf das ganze Intervall wenn $F$ ist differenzierbar und $b_1,b_2 \neq 0$. Leider habe ich keinen Zugang zu den in der Enzyklopädie zitierten Artikeln.
Antworten
In Abschnitt 9 der Einführung in die Spektraltheorie: Selbstadjunkte gewöhnliche Differentialoperatoren von Levitan und Sargsjan zeigen die Autoren dies für das Sturm-Liouville-Problem\begin{align} -y'' + q\,y = \lambda \,y\\ y'(0) - h\, y(0) = 0 \\ y'(\pi) + H\, y(\pi) = 0 \end{align} auf $[0,\pi]$, wenn $h,H \neq \infty$dann konvergiert oder divergiert die Sturm-Liouville-Eigenfunktionsexpansion an jedem Punkt im geschlossenen Intervall$[0,\pi]$ entsprechend dem Verhalten der entsprechenden Kosinusreihenexpansion.
Wenn einer von $h$ oder $H$ ist unendlich, muss man stattdessen mit dem vergleichen $sin([n+1/2]x)$Erweiterung. Ansonsten wenn beides$h=\infty, H=\infty$, dann muss man mit der Sinusreihenerweiterung vergleichen.