Korrelationskoeffizient von finden $X$ und $XY$

Question

Lassen $X$ und $Y$unabhängige Zufallsvariablen mit Abweichungen ungleich Null sein. Ich suche nach dem Korrelationskoeffizienten$\rho$ von $Z=XY$ und $X$ in Bezug auf die Mittel und Abweichungen von $X$ und $Y$dh $\mu_X, \mu_Y, \sigma^2_X, \sigma^2_Y$.

(Ich habe online nach verschiedenen Methoden gesucht, einschließlich der Korrelation zwischen X und XY . Ich frage mich jedoch, ob ich einen einfachen Berechnungsansatz verwenden könnte, anstatt auch Momente zu verwenden.)

Das Ergebnis, das ich zusammen mit den von mir verwendeten Schritten erhalten habe, ist das folgende:

$$ \begin{align} \rho & = \frac{\text{Cov}(Z,X)}{\sigma_Z\sigma_X}\\[1em] & = \frac{E\left[\left(Z-\mu_Z\right)\left(X-\mu_X\right)\right]}{\sigma_Z\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left[\left(XY-\mu_X\mu_Y\right)\left(X-\mu_X\right)\right]}{\sqrt{E\left[\left(XY\right)^2\right]-\left[E\left(XY\right)\right]^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left(X^2Y\right)-\mu_X^2\mu_Y}{\sqrt{E\left(X^2\right)E\left(Y^2\right)-\left[E\left(X\right)\right]^2\left[E\left(Y\right)\right]^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{E\left(X^2\right)E\left(Y\right)-\mu_X^2\mu_Y}{\sqrt{\left(\sigma_X^2+\mu_X^2\right)\left(\sigma_Y^2+\mu_Y^2\right)-\mu^2_X\mu^2_Y}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\left[E\left(X^2\right)-\mu^2_X\right]}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\sigma_X^2}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}\cdot\sigma_X} \\[1em] & = \frac{\mu_Y\sigma_X}{\sqrt{\sigma^2_X\sigma^2_Y+\sigma_X^2\mu_Y^2+\sigma_Y^2\mu_X^2}} \end{align} $$

Dies scheint sich von dem Ergebnis des Momentansatzes zu unterscheiden, der in der Korrelation zwischen X und XY verwendet wird . In welchem ​​Schritt ist ein Fehler in meiner Berechnung aufgetreten (falls vorhanden) und wie kann ich ihn erhalten?$\rho$ von dem Ansatz, den ich zu verwenden versuche?

Answer 1

Ein nützlicher Ansatz zum Debuggen einer Folge von Gleichheiten ist ein oder zwei Beispiele, damit Sie überprüfen können, wo die Gleichheit nicht mehr gilt.

Das einfachste Beispiel, das ich mir vorstellen kann, ist $Y$eine Konstante zu sein, die nicht 0, 1 oder -1 ist. Also lass$Y=\mu_Y$ sei eine positive Konstante, die nicht 1 ist, und $\sigma^2_Y=0$.

Die ersten drei Gleichungen erweitern nur die Definitionen, so dass die vierte das erste Mal ist, dass etwas schief gehen könnte. Und das tut es auch. Der Zähler in der dritten Zeile vereinfacht sich zu$\mu_Y\mathrm{var}[X]$. Der Zähler in der vierten Zeile tut dies nicht. Oder nicht, als ich das schrieb; es wurde jetzt bearbeitet.

Die bearbeitete Version besteht diese Prüfung. Es stimmt auch mit der dritten Antwort auf die verknüpfte Frage überein, die mit der ersten Antwort übereinstimmt, sodass wir wahrscheinlich zu dem Schluss kommen können, dass es richtig ist.

Answer 2

Was Sie geschrieben haben, entspricht dem Ausdruck im Link. Im Link befindet sich ein Tippfehler im Nenner, as$\mu_2(Y)^2$ sollte sein $\mu_1(Y)^2$.

\ begin {eqnarray} \ text {Cor} (X, XY) & = & \ frac {\ mu_2 (X) \ mu_1 (Y) - \ mu_1 (X) ^ 2 \ mu_1 (Y)} {\ sqrt {( \ mu_2 (X) - \ mu_1 (X) ^ 2) (\ mu_2 (X) \ mu_2 (Y) - \ mu_1 (X) ^ 2 \ mu_1 (Y) ^ 2)}} \\ & = & \ frac {E [X ^ 2] \ mu_Y - \ mu_X ^ 2 \ mu_Y} {\ sqrt {\ sigma_X ^ 2 (E [X ^ 2] E [Y ^ 2] - \ mu_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2)}} \\ & = & \ frac {\ sigma_X \ mu_Y} {\ sqrt {(\ sigma_X ^ 2 + \ mu_X ^ 2) (\ sigma_Y ^ 2 + \ mu_Y ^ 2) - \ mu_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2}} \\ & = & \ frac {\ sigma_X \ mu_Y} {\ sqrt {\ sigma_X ^ 2 \ sigma_Y ^ 2 + \ sigma_X ^ 2 \ mu_Y ^ 2 + \ mu_X ^ 2 \ sigma_Y ^ 2}} \\ \ end { eqnarray}