Lassen $G$ eine endliche Gruppe sein und $A:=\{a\in G\mid a\neq a^{-1}\}$. Beweise das $|A|$ ist gerade.
Lassen $G$ eine endliche Gruppe sein und $A:=\{a \in G\mid a \neq a^{-1} \}$ eine Menge, die alle Elemente von enthält $G$das sind nicht gleich ihren jeweiligen Umkehrungen. Beweise das$A$ enthält eine gerade Anzahl von Elementen.
Ich habe einige Beiträge gesehen hier hier diesen Beweis, aber keiner von denen meinen Versuch , ähnlich war.
Hier ist mein Versuch:
Schon seit $G$ ist also endlich $A$ ist auch endlich.
Darüber hinaus ist jedes Element von $A$ hat eine Umkehrung, weil $G$ ist eine Gruppe.
Teilen Sie jetzt $A$ in zwei Sätzen aufgerufen $X$ und $Y$, so dass $X\subseteq A$ und $Y\subseteq A$, so dass jedes Element von $X$ hat seine Umkehrung in $Y$.
Lassen $k_{1},k_{2} \in \mathbb{N}$, so dass $\left | X \right | = k_{1}$ und $\left | Y \right | = k_{2}$.
Da gibt es kein Element gleich seiner Umkehrung in $A$, dann $ \left | A \right | = \left | X \right | + \left | Y \right |$.
Außerdem, $\left | X \right | = \left | Y \right |$ weil $A$ enthält nur Elemente, die sich von ihren jeweiligen Umkehrungen unterscheiden.
Also, \ begin {align} \ left | A \ rechts | & = \ left | X \ rechts | + \ left | Y \ right | \\ & = k_ {1} + k_ {2} && \ text {[$\left | X \right | = k_{1}$ und $\left | Y \right | = k_{2}$]} \\ & = k_ {1} + k_ {1} && \ text {[$\left | X \right | = \left | Y \right |$]} \\ & = 2 \ cdot k_ {1} \ end {align}
$2k_{1}$ ist eine gerade Zahl nach der Definition einer geraden Zahl.
Daher ist der Satz $A$ enthält eine gerade Anzahl von Elementen.
Sieht mein Beweis gut aus? Jede Hilfe wird geschätzt!
Antworten
Es gibt eine einfachere Unterteilung von $A$das macht den Trick. Anstatt zu teilen$A$ Teilen Sie es in zwei disjunkte Teilmengen gleicher Kardinalität in eine paarweise disjunkte Sammlung von zwei Elementteilmengen auf: $$A = \bigcup_{x \in A} \{x,x^{-1}\} $$
Yuo hat eine nette Idee, aber lassen Sie uns einige Probleme hervorheben:
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Teilen Sie jetzt $A$ in zwei Sätzen aufgerufen $X$ und $Y$, so dass $X\subseteq A$ und $Y\subseteq A$, so dass jedes Element von $X$ hat seine Umkehrung in $Y$.
Ok, hier sind einige Beispiele: (a) $X=\emptyset$ und $Y=A$;; (b)$X=A$ und $Y=A$. Damit die Idee funktioniert, müssen Sie hinzufügen: (i) das für alle$x\in A$, $x\in X$ oder $x\in Y$;; (ii) das$X\cap Y=\emptyset$
Wenn Sie die obigen Bedingungen hinzufügen, $\lvert X\rvert=\lvert Y\rvert$ ist hauptsächlich auf die Tatsache zurückzuführen, dass $x\mapsto x^{-1}$ ist eine Injektion von $X$ zu $Y$(was unabhängig von (i) oder (ii) gilt) plus Surjektivität dank (i). Bedingung (ii) oder die Tatsache, dass kein Element gleich seiner Umkehrung ist, sind für dieses Ziel irrelevant.
Andererseits wird (ii) benötigt, um dies zu beweisen $\lvert A\rvert=\lvert X\rvert+\lvert Y\rvert$.
Der aufmerksame Leser könnte auch die Existenz eines Satzpaares wie in (1) in Frage stellen.