Leiten Sie das ab $X$ hat Normalverteilung mit Mittelwert $0$ und Varianz $1$

Question

Ich habe zuvor nach einem Problem von Grimmet $ Welsh gefragt (und ich danke @angryavian und @Graham Kemp vielmals):

"Wenn $ X + Y $ und $ X - Y $ unabhängig sind, zeigen Sie das \begin{align} M\left(2t\right) = M\left(t\right)^{3}M\left(-t\right), \end{align} wobei $ X, Y $ unabhängig vom Mittelwert $ 0 $ , der Varianz $ 1 $ und $ M (t) $ endlich sind. "

Dies ist der Link: Momentgenerierungsfunktion in $ 2t $ .

Aber jetzt gibt es den "zweiten" Teil des Problems: Um zu zeigen, dass $ X $ (und $ Y $ ) ein RV mit normaler Verteilung mit Mittelwert $ 0 $ und Varianz $ 1 $ sind .

Das Buch selbst schlägt vor, eine Funktion $ \ psi (t) = \ frac {M (t)} {M (-t)} $ zu definieren und zu zeigen, dass $ \ psi (t) = \ psi (2 ^ {- n} t) ^ {2n} $ . Zeigen Sie dann, dass $ \ psi (t) = 1 + o (t ^ {2}) $ als $ t \ bis 0 $ und $ \ psi (1) = 1 $, wenn $ n \ bis 0 $ . Dies lässt uns schließen, dass $ M (t) = M (-t) $ ist, und wenn wir dies auf die Hauptgleichung (die im Link und darüber) anwenden, erhalten wir $ M (t) = M (\ frac {1} {2} t) ^ {4} $ . Das Buch sagt dann, dass die Vorgehensweise wiederholt werden soll, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen. Ich habe also einige Fragen:

1. Wie kann man zeigen, dass $ \ psi (t) = \ psi (2 ^ {- n} t) ^ {2n} $ ?
2. Was bedeutet das "o" in $ \ psi (t) = 1 + o (t ^ {2}) $ ? (Ich kann mich nicht erinnern, dies durch das Kapitel gesehen zu haben)
3. Was ist zu wiederholen, um das gewünschte Ergebnis zu erzielen? Der ganze? Der letzte Teil?

Wenn jemand einen anderen Weg kennt, um diese Aussage zu beweisen, bin ich natürlich sehr dankbar! Vielen Dank im Voraus für Ihre Hilfe!

Answer 1

Hinweise:

• Verwenden Sie den ersten Teil der Frage, $\psi(t) = \frac{M(t)}{M(-t)} = \frac{M(t/2)^3 M(-t/2)}{M(-t/2)^3 M(t/2)}$. Mach noch etwas Arbeit, um es zu zeigen$\psi(t) = \psi(t/2)^2$.

• $\psi(t) = \psi(t/2)^2$ impliziert die allgemeinere Gleichheit $\psi(t) = \psi(t/2^n)^{2n}$.

• Durch eine Taylor-Erweiterung von $\psi$, wir haben $\psi(t) = \psi(0) + \psi'(0) t + \frac{1}{2} \psi''(0) t^2 + \frac{1}{6} \psi'''(\xi)t^3$ für einige $\xi$ zwischen $0$ und $t$. Wir wissen$\psi(0)=1$. Wir haben $$\psi'(t) = \frac{M'(t)M(-t) + M(t)M'(-t)}{M(-t)^2}$$ damit $\psi'(0)=0$ (da $M'(t)=E[X]=0$). Wir haben auch $$\psi''(t) = \frac{d}{dt}\frac{M'(t)M(-t) + M(t)M'(-t)}{M(-t)^2} = \frac{[M''(t)M(-t) - M(t) M''(-t)]M(-t)^2 + [M'(t)M(-t)+M(t)M'(-t)] 2 M(-t) M'(-t)}{M(-t)^4}$$ damit $\psi''(0)=0$ (schon seit $M''(0)=E[X^2]=1$). So wird die Taylor-Erweiterung $$\psi(t) = 1 + \frac{1}{6} \psi'''(\xi) t^3.$$ Wenn du zeigst $\psi'''$ ist durch eine Konstante begrenzt $C$ zum $t$ nahe Null (ich kann mir keinen einfachen Weg vorstellen, dies zu zeigen, und ich gehe davon aus, dass es dritte Momente gibt ... vielleicht kann jemand anderes mein Chaos hier aufräumen), dann haben wir $$\lim_{t \to 0} \frac{|\psi(t) - 1|}{t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{C}{6} |t| \to 0$$ Welches ist die Definition von $\psi(t)=1+o(t^2)$.

• $\psi(1) = \lim_{n \to \infty} \psi(2^{-n})^{2n} = \lim_{n \to \infty} (1 + o(2^{-2n}))^{2n} = 1$ (Ich überspringe hier Schritte)

• $\psi(1)=1$ impliziert $M(t)=M(-t)$

• $M(2t) = M(t)^3 M(-t) = M(t)^4$

• $M(t) = M(t/2)^4$

• $M(t) = M(t/2^n)^{4n}$

• Es muss noch etwas Arbeit geleistet werden, um daraus zu schließen $M(t)=e^{-t^2/2}$ ist der einzig mögliche MGF-Kandidat, der die oben genannte Wiederholung erfüllt.