Lösen nichtlinearer Gleichungen der Form $\mathbf x = A f(\mathbf x)$

Question

Lassen $A$ sei eine echte, invertierbare $n\times n$Matrix. Ich bin daran interessiert, die Vektoren zu finden$\mathbf{x}\in\mathbb R^n$ das löst die folgende Gleichung:

$$\mathbf x = A \tanh(\mathbf x)$$

bei dem die $\tanh$wird elementweise angewendet. Allgemeiner können wir andere Arten von Nichtlinearitäten anstelle der betrachten$\tanh$ (aber immer elementweise angewendet).

Gibt es einen generischen Ansatz, um die Lösungen dieser Art von Gleichungen zu untersuchen? Vermutlich ausnutzen der Eigenzerlegung von$A$?

Ich habe das Tag "Referenzanfrage" hinzugefügt, falls jemand relevante Referenzen zur Literatur vorschlagen kann.

Answer 1

Im 2D-Fall hat die Gleichung die Form $$\begin{cases}x=a f(x)+bf(y),\\y=cf(x)+df(y)\end{cases}$$

und nach Eliminierung von $y$erhalten wir eine univariate nichtlineare Gleichung $$\frac{x-af(x)}b=f\left(cf(x)+\frac db(x-af(x)\right).$$ Wir sehen keine besondere Vereinfachung oder Verbindung mit den Eigenwerten.

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Ich habe numerische Fälle mit vier verschiedenen positiven Lösungen gesehen.