Lösung einer Gleichung aus der Trigonometrie

Nov 21 2020

Ich versuche, die folgende trigonometrische Gleichung zu lösen:$$\frac{\cot\theta+\csc\theta}{\tan\theta+\sec\theta}=\cot(\pi/4+\theta/2)\cot \theta/2$$aber leider bin ich nach viel Mühe nicht in der Lage, das Problem zu lösen, ich glaube, ich verpasse einige offensichtliche Schritte, so dass das Problem durcheinander kommt, aber ich konnte nicht auf meinen Fehler hinweisen, ich habe auch versucht, es zu lösen indem ich von RHS aus gestartet bin, aber auch dort bin ich gescheitert.

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand hilft.

Antworten

1 ZAhmed Nov 21 2020 at 01:17

$$\frac{\cot \theta+\csc \theta}{\tan \theta+ \sec \theta}= \frac{1+\cos \theta}{1+\sin \theta}~\frac{\cos \theta}{\sin \theta}$$ $$=\frac{2\cos^2(\theta/2)}{[\sin(\theta/2)+\cos(\theta/2)]^2}\frac{\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2)}{2\sin(\theta/2) \cos(\theta/2)}=\cot(\theta/2) \frac{\cos (\theta/2)-\sin(\theta/2)}{\cos (\theta/2)+\sin(\theta/2)}$$ $$=\cot(\theta/2) \frac{1-\tan(\theta/2)}{1+\tan(\theta/2)}=\cot(\theta/2) \tan(\pi/4-\theta/2)=\cot(\theta/2) \cot(\pi/4+\theta/2).$$Verwenden$\tan(\pi/2-z)=\cot z$.

labbhattacharjee Nov 21 2020 at 13:08

Lassen$c=\cot\dfrac\theta2$

Verwenden Sie die Weierstraß-Substitution

$$\tan\theta=\cdots=\dfrac{2c}{c^2-1}$$

$$\sin\theta=\cdots=\dfrac{2c}{c^2+1}$$

$$\cos\theta=\cdots=\dfrac{c^2-1}{c^2+1}$$

Wenn$c\ne0,$

LHS$=\dfrac{\dfrac{c^2-1}{2c}+\dfrac{c^2+1}{2c}}{\dfrac{2c}{c^2-1}+\dfrac{c^2+1}{c^2-1}}=\dfrac{c(c^2-1)}{(c+1)^2}=c\cdot\dfrac{c-1}{c+1}$wenn$c+1\ne0$

Verwenden Sie schließlich Beweisen Sie das$\cot(A+B)=\frac{\cot A\cot B-1}{\cot A+\cot B}$