Mathematica gibt ein trigonometrisches Integral ($\sec^3$) in einer Form, die ich nicht beweisen kann
Das unbestimmte Integral ist natürlich$1/2 ( \sec(x) \tan(x) + \ln | \sec(x) + \tan(x) | ( + C)$.
Mathematica gibt:
Integrate[Sec[x]^3, x]
1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x])
Das$1/2 \sec(x) \tan(x)$da ist, aber ich habe ein paar Stunden damit verbracht zu beweisen, dass der Logarithmus von Mathematica wirklich da ist$\ln | \sec(x) + \tan(x) |$, und ich kann es einfach nicht! Das$x/2$Halbwinkel werfen mir einen Strich durch die Rechnung. Sie scheinen mir einfach so falsch zu sein, es ist wie die Halbwinkelformel rückwärts. Ich bekomme Quadratwurzeln, wo ich Quadrate sehen möchte.
Ich bin mir sicher, dass ich etwas Offensichtliches übersehe, aber ich kann es einfach nicht sehen!
Antworten
Differenziere, kombiniere die Logarithmen und arbeite rückwärts mit den Halbwinkelformeln und der Identität$1+\tan(x)^2 = \sec(x)^2$
FullSimplify[
D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]
]
(* result: Sec[x]^3 *)
Sie können selbst dorthin gelangen, wenn Sie zuerst zeigen:
FullSimplify[-(-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
Cos[x/2] + Sin[x/2])]
(* Sec[x] *)
Um das obige Ergebnis zu erhalten, schauen Sie sich an, was passiert, wenn Sie alles auf einen gemeinsamen Nenner bringen:
Together[-((-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] - Sin[x/2])) + (
1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] + Sin[x/2])]
(* (Cos[x/2]^2 + Sin[x/2]^2)/
((Cos[x/2] - Sin[x/2]) (Cos[x/2] + Sin[x/2])) *)
Der Zähler ist offensichtlich 1 durch die Identität$\cos(\theta)^2+\sin(\theta)^2=1$und der Nenner ist$\cos(x)$um halbe Winkel. Erweitern Sie dazu den Nenner$d=\left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right) \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$bekommen$d=\cos ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^2\left(\frac{x}{2}\right)$. Dann haben wir$d = 1-2 \sin ^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos(x)$und$1/d$ist$\sec(x)$
... und was den Rest der Ableitung betrifft:
FullSimplify[1 - Sec[x]^2]
(* Tan[x]^2 *)
Also deshalb:
D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]
(* 1/2 (Sec[x]^3 - (-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
Cos[x/2] + Sin[x/2]) + Sec[x] Tan[x]^2) *)
(* == (Sec[x]^3 + Sec[x] (1 + Tan[x]^2))/2 *)
(* == (Sec[x]^3 + Sec[x]^3)/2 == Sec[x]^3 *)