Maximal finden $x+y+z$ [geschlossen]
Wenn positive Zahlen $x, y$ und $z$ befriedige das $xyz=1$, wofür ist der Mindestwert? $x+y+z$?
Von $xyz=1$, wir können bekommen $$x = \frac{1}{yz};\space\space\space y = \frac{1}{xz};\space\space\space z = \frac{1}{xy}; $$
Ersetzen Sie sie in $x+y+z=1$ und ich bekam$$\frac{xy+yz+xz}{xyz} = xy+yz+xz = 1$$
Da finden wir das Minimum für $x+y+z$Ich dachte daran, die Formel zu verwenden $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$ aufgrund der Tatsache, dass wir den Wert von haben $xy+yz+xz$.
Das ist alles was ich bisher habe. Wie kann ich weitermachen?
Antworten
Verwenden Sie AM-GM-Ungleichung,
$$\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt [3]{xyz}$$
$$x+y+z \ge 3$$
Das Minimum ist $3$ und es gibt kein Maximum.
Nach Geometrie:
Die Oberfläche der Gleichung $xyz=1$(weiß nicht, wie es heißt) ist eine Kubik mit einer "hyperbolischen" Form, da jeder Querschnitt durch eine Ebene einer konstanten Koordinate eine Hyperbel ist. Es hat eine Symmetrie der Ordnung$3$ um die Achse $x=y=z$und ist offen für die Unendlichkeit.
Die Abschnitte durch das Flugzeug $x+y+z=c$ sind geschlossene Kurven, beginnend mit $c=3$ und monoton und unbegrenzt vergrößern.
Das Minimum ist $c=3$ und es gibt kein Maximum.