Maximalwert von $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?

Dec 12 2020

Also bin ich in meinem Lehrbuch auf eine Frage gestoßen:

Im Dreieck ABC, wenn $A$,$B$,$C$ Winkel darstellen, dann den Maximalwert von finden $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?

Also habe ich es schon versucht und mein Blut, meinen Schweiß und meine Tränen in diese Frage gesteckt. Aber ich bin nicht in der Lage, weiter zu lösen!

Hier ist mein Ansatz: Mit $\sin(C)+\sin(D)$ und $A+B+C= \pi$;;

  1. $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+\cos(\frac{A+B}{2})$ Jetzt mit $\cos(2A)$ Formel dh $1-2\sin^2(A) $
  2. $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1-2\sin^2(\frac{A+B}{4})$
  3. Also wurde ich quadratisch in variabel $\sin(\frac{A+B}{4})$
  4. $-2\sin^2(\frac{A+B}{4})+2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1$

Aber ich weiß nicht, was ich danach tun soll

Kann ich diese Frage mit dieser Methode lösen oder muss ich einen anderen Ansatz wählen!

Übrigens ist die Antwort 3/2

Bearbeiten: Ich habe gerade meine High School beendet und mich auf die Aufnahmeprüfung IIT-JEE vorbereitet. Bitte verwenden Sie keine harten Begriffe, um diese Frage zu lösen.

Diese Lösung wird von meinem Lehrer gesendet. Lassen Sie mich diese zumindest verstehen. [Https://i.stack.imgur.com/51pCB.png]

Antworten

1 labbhattacharjee Dec 12 2020 at 01:19

Wo Sie aufgehört haben, lassen Sie $$z=-2\sin^2x+1+2\sin x\cos y$$

$$\iff2\sin^2x-2\sin x\cos y+z-1=0$$

Wie $\sin x$ ist real, muss der Diskriminant sein $\ge0$

$\implies8(z-1)\le(-2\cos y)^2\le2^2$

$\implies8z\le4+8$

Die Gleichheit tritt auf, wenn $\cos^2y=1\iff\sin y=0$

und folglich $\sin x=\mp\dfrac{\cos y}2=\mp\dfrac12$

4 J.G. Dec 12 2020 at 00:16

Schon seit $\sin x$ist konkav auf akut$x$, durch Jensens Ungleichung wird das Maximum bei gefunden$A/2=B/2=C/2=\pi/6$, wie $3\sin\pi/6=3/2$.

Bearbeiten: Da das OP in einem Kommentar zu @ B.Goddards Antwort erwähnt hat, dass sie Differenzierung kennen, ist hier ein weiterer Beweis, dass der gleichseitige Fall ein Maximum erreicht:

Verwenden Sie weiter $\frac{C}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}$. Auslöschen$\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}$ gleichzeitig lösen$$\tfrac12\cos\tfrac{A}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0,\,\tfrac12\cos\tfrac{B}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0$$nämlich. $A=B=C$. Ich überlasse es dem Leser, das Maximum zu überprüfen, indem ich zweite Ableitungen in Betracht ziehe.

1 B.Goddard Dec 12 2020 at 00:23

Sie können dies mit Lagrange-Multiplikatoren tun. Maximieren$f=\sin x/2 + \sin y/2+\sin z/2$ unter der Bedingung $g=x+y+z = \pi$.

Dann

$$\nabla f = \langle \cos(x/2)/2, \cos(y/2)/2, \cos(z/2)/2 \rangle =\lambda\langle 1,1,1 \rangle = \nabla g.$$

Dies zeigt, dass $x=y=z$ und das maximale Dreieck ist gleichseitig.

ZAhmed Dec 12 2020 at 00:34

In einem Dreieck ABC, $A+B+C=\pi$ $$f(x)=\sin(x/2) \implies f''(x)=-\frac{1}{4}\sin(x/2)<0, x\in[0,2\pi].$$ Also durch Jemsens Ungleichung $$\frac{f(A/2)+f(B/2)+f(C/2)}{3} \le f(\frac{A+B+C}{6}).$$ $$\implies \frac{\sin (A/2)+\sin(B/2)+\sin{C/2}}{3} \le \sin\frac{\pi}{6}.$$ $$\implies \sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2) \le \frac{3}{2}$$