Mein Versuch, das zu zeigen $K[[x]]$ über einem Feld befindet sich ein lokaler Ring.

Question

Hier ist die Frage, die ich beantworten möchte $(b)$ drin:

Ein kommutativer Ring $R$ ist lokal, wenn es ein einzigartiges maximales Ideal hat $\mathfrak{m}.$ In diesem Fall sagen wir $(R, \mathfrak{m})$ist ein lokaler Ring. Zum Beispiel wenn$R$ ist also ein Feld $(R,(0))$ ist ein lokaler Ring, da das einzig richtige Ideal eines Feldes ist $(0).$

$(a)$ Lassen $(R, \mathfrak{m})$sei ein lokaler Ring. Zeige, dass$R^* = R\setminus \mathfrak{m}.$

$(b)$ Zeigen Sie das für ein Feld $K,$ $R = K[[x]]$ ist ein lokaler Ring.

Hinweis: Laut Teil $(a),$ $\mathfrak{m} = R\setminus R^{*}$ und weisst du was $R^*$ ist.

Meine Fragen sind:

Ich kenne bereits den Beweis für einen Brief $(a).$ Auch das habe ich vorher gründlich bewiesen:

Wenn $R$ eine integrale Domäne sein und lassen $R[[x]]$ sei also der entsprechende Ring formaler Potenzreihen $R[[x]]$ist eine integrale Domäne. und$R[[x]]^*$ besteht aus der Serie $\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n (a_{n} \in R)$ so dass $a_{0} \in R^*.$

Und ich habe den folgenden Hinweis gegeben, um meine Frage zu lösen:

Hinweis: Laut Teil $(a),$ $\mathfrak{m} = R\setminus R^{*}$ und weisst du was $R^*$ ist.

1-Aber ich verstehe nicht, wie man es benutzt. Kann mir jemand zeigen, wie ich diesen Hinweis bitte verwenden kann?

Ich habe auch verstanden, dass ich das beweisen sollte $K[[x]]$ hat ein einzigartiges maximales Ideal.

Und nach dem hier von Arthur gegebenen Hinweis:

Die Menge der formalen Potenzreihen über einem Feld ist ein lokaler Ring? welches ist:

"Hinweis: Nehmen Sie ein Element mit einem konstanten Term ungleich Null und konstruieren Sie eine explizite Inverse Grad für Grad (oder zeigen Sie zumindest, dass dies möglich ist, indem Sie die ersten drei Terme der Inversen finden und darauf hinweisen, dass Sie dies können auf unbestimmte Zeit weitermachen). Dies zeigt das $(x)$ ist das einzige maximale Ideal. "

Ich sollte eine explizite Umkehrung eines Elements konstruieren $x$ mit einem konstanten Term ungleich Null und es wird das einzige maximale Ideal sein $<x>$.

2-Ich weiß nicht, was explizit die Form dieses Ideals ist, und ich weiß nicht, wie ich beweisen soll, dass dies das einzige maximale Ideal ist. Kann mir bitte jemand den Beweis dafür zeigen?

Hier ist mein detaillierter Beweis für $R[[x]]^*$ besteht aus der Serie $\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n (a_{n} \in R)$ so dass $a_{0} \in R^*.$

Lassen $R$ eine integrale Domäne (kommutativer Teilungsring ohne Nullteiler) und lassen $R[[x]]$sei der entsprechende Ring formaler Potenzreihen. dh$$\displaystyle R[[x]]=\left\{\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n\;\middle\vert\; a_n\in R\right\}$$ Mit Addition und Multiplikation wie für Polynome definiert.

\ textbf {Erstens: Zeigen, dass wenn $a_0\in R$ ist also eine Einheit $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ ist eine Einheit in $R[[x]]$}}

Lassen $a=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\in R[[x]]$, wo $a_0$ist eine Einheit. Wir wollen einige konstruieren$b=\sum_{n=0}^\infty b_nx^n\in R[[x]]$ so dass $ab=1$oder nach dem Erweitern, $$ab=a_0b_0+(a_1b_0+a_0b_1)x+\cdots=1+0x+0x^2+\cdots \quad \quad (1)$$ Wir brauchen also $b_0=a_0^{-1}$ (erinnere dich daran $a_0$ist eine Einheit durch die gegebene). Wir wollen haben$a_1b_0+a_0b_1=0$, also unsere einzige Wahl für $b_1$ ist $$b_1=\frac{-a_1b_0}{a_0}=-a_1a_0^{-2}.$$Auch wir wollen $a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2=0$Also müssen wir haben $$b_2=\frac{-a_2b_0-a_1b_1}{a_0}=-a_2a_0^{-2}+a_1^2a_0^{-3}.$$ Also, um eine rekursive Definition von zu finden $b_{n}$ Wir werden die Definition der Multiplikation im Ring der formalen Potenzreihen verwenden, das haben wir $$\sum_{n = 0}^{\infty}a_n x^n . \sum_{n = 0}^{\infty}b_n x^n = \sum_{n\geq 0} (\sum_{i=0}^{n} a_{i} b_{n-i})x^n = a_{0}b_{0} + (a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0})x + \cdots + (\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i}) x^k + \cdots .$$ Jetzt brauchen wir hier unser Problem $ab = 1,$ dh $$ a_{0}b_{0} + (a_{0}b_{1} + a_{1}b_{0})x + \cdots + (\sum_{i=0}^{k}a_i b_{k-i}) x^k + \cdots = 1, $$ Wir brauchen also alle Begriffe außer dem konstanten Begriff, um zu verschwinden.

Nehmen Sie das für eine natürliche Zahl an $n,$ wir wissen, dass die Koeffizienten von $b$ sind ungleich Null bis $(n-1),$ dann ist die $n^{th}$ Koeffizient von $ab$ist Null. Also können wir schreiben$$0 = a_{0}b_{n} + a_{1}b_{n-1} + \cdots + a_{n-1}b_{1} + a_{n}b_{0},$$Oder äquivalent, $$ a_{0}b_{n} = -( a_{1}b_{n-1} + \cdots + a_{n-1}b_{1} + a_{n}b_{0}),$$Daher, $$ b_{n} = \frac{-1}{a_{0}}( a_{1}b_{n-1} + \cdots + a_{n-1}b_{1} + a_{n}b_{0}) = \frac{-1}{a_{0}} (\sum_{i=1}^n a_{i} b_{n-i}). $$Und dies ist die Rekursionsrelation, die die Koeffizienten beschreibt $b_{n}$ von $b$ das wird machen $b$ eine Umkehrung von $a.$

\ textbf {Zweitens: zeigt, dass wenn $a = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ ist eine Einheit in $R[[x]]$ dann $a_0\in R$ ist eine Einheit}

Annehmen, dass $a = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ ist eine Einheit in $R[[x]]$ und das wollen wir zeigen $a_0\in R$ ist eine Einheit.

Schon seit $a$ ist also eine Einheit $\exists b = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_n x^n\in R[[x]]$ so dass $ab =1.$ Das heißt aber so $(a_0 + a_1 x+\cdots)(b_0 + b_1 x+ \cdots)=1+0x+\cdots$ damit $a_0b_0+ (a_1b_0+a_0 b_1)x+\cdots=1+0x+\cdots$ deshalb $a_0b_0=1$ und daher $a_{0}$ ist eine Einheit nach Bedarf.

Answer 1

Verwenden Sie Ihren Hinweis, $M=K[[x]]\setminus K[[x]]^*$ist der Kandidat für das einzigartige maximale Ideal. Jetzt,$M$ist die Menge der formalen Potenzreihen mit einem konstanten Term gleich Null. Das bedeutet, dass Ihre Elemente in$M$ habe die Form $$a=a_1x+a_2x^2+\cdots=x(a_1+a_2x+\cdots)=xb,$$ so sind sie im Ideal von $x$, was mit bezeichnet wird $(x)$. Tatsächlich,$M=(x)$. Dieses Ideal ist seit dem Quotienten maximal$K[[x]]/(x)=K$ ist ein Feld (Sie können sich den Quotienten als Ring vorstellen $K[[x]]$ unter der Bedingung, dass $x=0$, so bekommst du $K$. Eine andere Möglichkeit, dies zu sehen, ist die Auswertung der Bewertungskarte$e_0:K[[x]]\rightarrow K$ das nimmt eine formale Potenzreihe und bewertet sie bei $0$. Das ist ein Homomorphismus mit dem Kernel$(x)$). Schließlich hat jedes Ideal (maximal oder nicht), das nicht der gesamte Ring ist, keine invertierbaren Elemente, dh es ist in enthalten$M$. Daher,$M$ ist das einzige maximale Ideal.