Momenterzeugungsfunktion angewendet in $2t$

Nov 25 2020

Ich habe einige Probleme mit diesem Problem, angepasst von Grimmet & Welsh:

Wenn $X + Y$ und $X - Y$ sind unabhängig, zeigen das \begin{align} M\left(2t\right) = M\left(t\right)^{3}M\left(-t\right), \end{align} wo $X,Y$ sind unabhängig rv mit Mittelwert $0$Varianz $1$ und $M(t)$ endlich.

Wie kann man das beweisen? Tut$X$ und $Y$muss normal verteilt sein? Vielen Dank!

Antworten

2 angryavian Nov 25 2020 at 09:37

Hinweise:

  • $M(2t) = E[e^{2tX}]$
  • $M(t) = E[e^{tX}] = E[e^{tY}]$
  • $M(-t) = E[e^{-tY}]$
  • $2X = (X+Y) + (X-Y)$
  • Wenn $U$ und $V$ sind also unabhängige Zufallsvariablen $E[f(U)g(V)] = E[f(U)] E[g(V)]$.