Morphismus zwischen integraler Domäne und Feld ist injektiv?

Dec 28 2020

Ich habe gerade in den Notizen meiner linearen Algebra die folgende Aussage gelesen: Sei A eine integrale Domäne und K ein Feld. Jeder Ringmorphismus ungleich Null$\phi : A \to K$ ist injektiv.

Ich denke, diese Aussage ist falsch, wenn man den Morphismus betrachtet $$\phi : \mathbb Z \to \mathbb Z /2 \mathbb Z$$ $$n \to [n]$$ Dies ist ein Morphismus zwischen einer integralen Domäne und einem Feld, aber eindeutig nicht injektiv.

Ist die Aussage also falsch? Ich bin mir des Gegenbeispiels ziemlich sicher, aber jedes Mal, wenn ich mit den Notizen meines Lehrers nicht einverstanden war, habe ich mich geirrt.

Antworten

4 TrevorGunn Dec 28 2020 at 02:08

Du hast Recht. Hier sind zwei Möglichkeiten für das, was die Aussage hätte sein sollen:

  1. Jeder Morphismus von $K \to A$ ist injektiv (weil der Kernel ein Ideal von ist $K$ und die einzigen Ideale sind $(0)$ und $(1) = K$). Das ist nicht so wichtig$A$ ist eine integrale Domäne hier anders als das zu wissen $A \neq 0$. Wenn$A$ wurden $0$ dann $K \to 0$ ist nicht injektiv.

  2. Die Karte $A \to \operatorname{Frac}(A)$ ist injektiv.