Nachweis und Verständnis erforderlich
Verwenden Sie das Ergebnis von Übung 1, um zu beweisen, dass A \ B unendlich ist, wenn A unendlich und B endlich ist und B eine endliche Teilmenge von A ist
Aufgabe 1 Sei A, B disjunkte endliche Mengen. und A≈m. und dann B≈n. A ∪ B ≈ m + n. Schließen Sie, dass die Vereinigung zweier endlicher Mengen endlich ist.
Hinweis : Das Problem stammt aus einem Buch der Mengenlehre von Pinter
Versuchter Beweis (Vorbehalt Lector: Lassen Sie den Leser aufpassen ... Mein Wissen über unendliche Mengen ist wackelig. Ich kann Induktion und Mapping verwenden.)
Ich habe Übung 1 bewiesen. (Vollständiges Umschreiben)
Schreiben Sie A = (A \ B)$\cup$ B (1)
Verwenden von $A \cup B $ aus Übung 1 erhalten wir A \ B = ($A\cup B)\cap B^{c}$ (2)
Nehmen wir nun an, dass A eine denumerierbare Teilmenge B hat und A endlich ist; das heißt, A ≈ n, B ⊆ A und B ≈ ω. Schluchzen$\subset$(A \ B)$\cup$ B. B.
A \ B kann nicht endlich sein, da A unendlich ist, wenn a$\in$A \ B dann a$\in B^{c}$ dann $B^c$ ist unendlich, was Widerspruch ist, da B endlich ist
Daher ist A / B unendlich
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Antworten
Ein paar Dinge:
- $A\setminus B = \{x \in A: x \notin B\}$. So$$A\setminus B = A\cap B^\complement$$ Es gibt keinen Grund zur Vereinigung aller Elemente von $B$ bevor Sie sie durch Überschneiden mit entfernen $B^\complement$.
- Sie schließen daraus
$A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$
Damit $A\setminus B$ und $B$ sind disjunkt.
Jedes Argument, mit dem Sie bekommen könnten "$A\setminus B$ und $B$ sind disjunkt "von $A\setminus B= ((A\setminus B)\cup B)\cup B)\cap B^\complement$ würde viel einfacher aus Ihrer Aussage (2) arbeiten: $A\setminus B= (A\cup B)\cap B^\complement$. Oder noch einfacher von (was ich annehme, ist die Definition, für die Pinter gibt$A\setminus B$): $A\setminus B = A\cap B^\complement$. Sie gingen ganz klar in die falsche Richtung und haben sich offenbar nur dazu entschlossen, es zu fälschen, in der Hoffnung, dass Ihr Leser gleichermaßen verloren ist und davon ausgeht, dass Sie tatsächlich etwas demonstriert haben.
Das $A\setminus B$ und $B$disjunkt sind etwas so Offensichtliches, dass es fraglich ist, ob es überhaupt demonstriert werden musste. Durch die von mir angegebene Set-Builder-Definition ist dies beweisbar, wenn man das bemerkt$x \in A\setminus B \implies x \notin B$, deshalb gibt es keine $x$ das ist in beiden $A\setminus B$ und $B$. Wenn Sie auf einem "satzalgebraischen" Beweis bestehen, dann$$(A\setminus B) \cap B = (A \cap B^\complement)\cap B = A\cap(B^\complement\cap B) = A\cap\varnothing = \varnothing$$
- Sie verfolgen Ihre eigenen Annahmen nicht:
Nehmen wir das an $A$ hat eine denumerierbare Teilmenge $B$ und $A$ist endlich ; das ist,$A \approx n, B \subseteq A$, und $B \approx \omega$. Damit$B\subset (A\setminus B)\cup B$.
$A\setminus B$kann nicht endlich sein, da A unendlich ist ...
Außerdem verwenden Sie im Rest Ihrer Argumentation keine der oben genannten Punkte. Warum haben Sie sie also erwähnt? Das einzige, was du benutzt hast, war das$A$ ist unendlich, was eine Hypothese des Satzes ist.
Wenn $a\in A\setminus B$ dann $a\in B^\complement$ dann $B^\complement$ ist unendlich, was seitdem Widerspruch ist $B$ ist endlich.
Ich nehme an, Sie zeigen das $A\setminus B \subseteq B^\complement$, was in der Tat bedeuten würde $B^\complement$ist unendlich (vorausgesetzt, es wurde bereits bewiesen, dass eine Klasse mit einer unendlichen Unterklasse selbst unendlich ist). Aber$B^\complement$ unendlich zu sein widerspricht sowieso nicht $B$endlich sein. Tatsächlich ist das Komplement jeder endlichen Menge unendlich. Komplemente von Mengen sind keine Mengen nach Pinters Mengenlehre. Sie sind richtige Klassen, und richtige Klassen sind immer unendlich.
Wenn Sie dies mit Übung 1 beweisen möchten, ist ein Widerspruch erforderlich. Aber was Sie zu beweisen versuchen, ist "$A\setminus B$ ist unendlich ", also ist die Annahme, die Sie machen müssen, das Gegenteil:"$A\setminus B$ ist endlich ". Wenn Sie zu einem Widerspruch kommen, bedeutet dies, dass die Annahme, die Sie dazu geführt hat, falsch ist, und wenn"$A\setminus B$ ist endlich "ist falsch, dann ist es das Gegenteil"$A\setminus B$ ist unendlich "wird wahr sein.
Sie haben also die Hypothesen des Satzes:
- $A$ ist unendlich.
- $B$ ist endlich.
Und die Annahme, die Sie zu widerlegen versuchen:
- $A\setminus B$ ist endlich.
Sie haben auch den bereits bewährten Satz:
- Wenn $C$ und $D$ sind beide endlich, dann ist es so $C\cup D$.
Können Sie sehen, wie Sie diese kombinieren können, um zu einem Widerspruch zu gelangen?