Negation von "wenn A dann B" (wie man beweist, dass "wenn A dann B" falsch ist)
Ich weiß, dass dieses Thema bereits diskutiert wurde, aber ich konnte immer noch keine Antwort auf meine spezielle Frage finden.
Ich weiß, dass die Negation von "Wenn A dann B" "A und NICHT B" ist.
Aber ich wollte eine Klarstellung und was für wahr / falsch für die Aussage A und NICHT B bestimmt.
Nehmen wir zum Beispiel an, dass die Aussage "Wenn A, dann B" wahr ist. Dann würde nach meinem Verständnis folgen, dass "A und NICHT B" immer falsch sein muss.
Nehmen wir jedoch an, dass die Aussage "Wenn A, dann B" falsch ist. Wäre dann die Aussage "A und NICHT B" immer wahr? Oder gibt es mindestens einen Fall, in dem "A und NICHT B" wahr ist?
Um meine Frage noch klarer zu machen, wenn ich beweisen wollte, dass "wenn A dann B" tatsächlich falsch ist, müsste ich zeigen, dass "A und NICHT B" immer gilt, oder reicht es aus, nur einen Fall zu zeigen, in dem es ist wahr?
Vielen Dank!
Antworten
Nehmen wir zum Beispiel an, dass die Aussage "Wenn A, dann B" wahr ist. Dann würde nach meinem Verständnis folgen, dass "A und NICHT B" immer falsch sein muss.
Wahr zu sein ist etwas anderes als eine Tautologie zu sein, daher folgt daraus nicht, dass "A und NICHT B" immer falsch sein muss. Nehmen wir stattdessen an, "wenn A dann B" eine Tautologie ist, impliziert dies, dass ihre Negation immer falsch sein muss, dh ein Widerspruch.
Eidt: Es ist richtig, wenn Sie "A und NICHT B" meinen, immer falsch zu sein, wenn "wenn A dann B" wahr ist.
Nehmen wir jedoch an, dass die Aussage "Wenn A, dann B" falsch ist. Wäre dann die Aussage "A und NICHT B" immer wahr? Oder gibt es mindestens einen Fall, in dem "A und NICHT B" wahr ist?
Wenn wir wissen, dass "wenn A dann B" in einigen festen Fällen falsch ist, dann muss "A und NICHT B" in diesen Fällen wahr sein, und wenn diese Fälle alle möglichen Fälle abdecken, dann ja das
$$\text{($'$A and NOT B$'$ always be true) hold, i.e. this would be a tautology}$$
Wenn wir jedoch sagen "wenn A dann B ist" falsch ist, bedeutet dies normalerweise, dass dies in einem bestimmten Fall falsch ist, sagen wir Fall C. Das there is at least one case where "A and NOT B" is truegilt. Seien Sie konkret, denn es ist wahr, falls C.
Um meine Frage noch klarer zu machen, wenn ich beweisen wollte, dass "wenn A dann B" tatsächlich falsch ist, müsste ich zeigen, dass "A und NICHT B" immer gilt, oder reicht es aus, nur einen Fall zu zeigen, in dem es ist wahr?
Wenn wir beweisen wollen, dass "wenn A dann B" in einigen Fällen tatsächlich C falsch ist, dann reicht es aus zu zeigen, dass in Fall C "A und NICHT B" wahr ist.
Aus dem gleichen Grund müssen wir zeigen, dass "A und NICHT B" immer wahr ist, wenn wir beweisen wollen, dass "wenn A dann B" immer falsch ist.
Schauen wir uns die Wahrheitstabelle von an $A \rightarrow B$, wir haben $$ \begin{array}{|c|c|c|} \hline A & B & A\rightarrow B \\ \hline T & T & T \\ T & F & F \\ F & T & T \\ F & F & T \\ \hline \end{array} $$
Der einzige Fall zu bekommen $False$ Wert ist wann $A$ ist $True$ und $B$ ist $False$. Um dieses Ergebnis zu erhalten, müssen Sie dies nur zeigen$B$ ist $False$. hoffentlich hilft das
Hier ist die Wahrheitstabelle für $(\neg(A\to B)\to (A \land \neg B))$::
Wie Sie sehen können, ist es immer wahr.
Logische Implikation wird oft definiert als:
$A\to B~~\equiv ~~ \neg (A \land \neg B)$
Diese Äquivalenz kann auch anhand erster Prinzipien unter Verwendung einer Form natürlicher Ableitung formal nachgewiesen werden:
