Quanteneinheitliche Transformation
In der Quantenmechanik wissen wir $\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar}H\psi$,
aber warum ist $U\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} \left(UHU^\dagger \right) U\psi$?
Bedeutet es $UHU^\dagger = H$? Meiner Ansicht nach$UU^\dagger H = H$, aber warum können wir hier die Reihenfolge der Matrizen ändern?
Antworten
Sie überdenken dies, vorausgesetzt $U$ ist einheitlich:
$$ U\dot\psi= -\frac{i}{\hbar} UH\psi=-\frac{i}{\hbar} UH\mathbb 1\psi= -\frac{i}{\hbar} UHU^\dagger U\psi.$$
$U$ muss nicht der Zeitentwicklungsoperator sein und muss nicht mit pendeln $H$Damit dies funktioniert, kann es eine beliebige Einheit sein. Das heißt nur, wenn Sie schreiben$\psi$auf einer anderen Basis entwickelt es sich dann mit dem in der neuen Basis geschriebenen Hamilton-Operator. (Oder äquivalent dazu, dass sich ein gedrehter Vektor mit dem gedrehten Hamilton-Operator entwickelt).
Wenn der Hamiltonianer $\hat{H}$ hängt nicht von der Zeit ab, und $U$ soll dann der Zeitentwicklungsoperator sein $$\hat{U}~=~\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t\right),\tag{A}$$ was pendelt$^1$ mit $\hat{H}$, damit $$UHU^{\dagger} ~=~ H,\tag{B}$$vgl. OPs Frage.
Wenn der Hamiltonianer $\hat{H}$hängen von der Zeit ab, dann Gl. (A) & (B) müssen geändert werden, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
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$^1$ Eine Funktion $f(\hat{H})$ von $\hat{H}$ pendelt mit $\hat{H}$vgl. zB diese & diese Phys.SE Beiträge.
user2723984 ist korrekt. Der zweite Teil Ihrer Frage ist jedoch ungelöst: Wenn der Hamilton-Operator zu unterschiedlichen Zeiten mit sich selbst pendelt, ist der einzige Operator in$U$ ist $H$ und wie $H$ pendelt mit sich selbst, kann dann die Reihenfolge der Bediener geändert werden.