Rekursion analog mit einer Differentialgleichung lösen

Aug 16 2020

Ich bin auf dieses Problem gestoßen:


Sequenz lassen $u_n$ durch seinen ersten Begriff definiert werden $u_0 > 0$ und $$\forall n \in \mathbb{N}, \quad u_{n+1} = u_n + \frac{1}{u_n}$$ Finden Sie eine asymptotische Formel für $u_n$.


Ich dachte, wir könnten es analog zur Gleichung lösen $$f' = \frac{1}{f}$$ das gibt die asymptotische Formel $u_n \sim \sqrt{2 n}$und das ist in der Tat die richtige Antwort.

Allgemeiner nehmen wir $u_0 > 0, \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} = u_n + f(u_n)$Was wären die Bedingungen für eine kontinuierliche, positive, abnehmende Funktion? $f$ so dass die Methode der Analogie mit einer Differentialgleichung die richtige asymptotische Formel ergibt?

Vielen Dank !

Antworten

BenGrossmann Aug 15 2020 at 23:34

Wie im Kommentar unten erwähnt, ist diese Antwort falsch


Nehme an, dass $y$ ist eine Lösung für die Differentialgleichung $y' = f(y)$, und $u_n$ löst die Wiederholung $u_{n+1} = u_n + f(u_n)$ mit $u_0 = y(0)$. Mit dem Mittelwertsatz finden wir das für alle$n$gibt es eine $c \in [n,n+1]$ für welche $y(n+1) - y(n) = y'(c).$ weil $f$ nimmt ab, wir haben $$ f(y(n)) = y'(n) \geq y(n+1) - y(n) \geq y'(n+1) = f(y(n+1)). $$ Nehmen wir das an $w_n$ befriedigt $w_{n+1} = w_n + f(w_n)$, und $w_0 = y(1)$. Das finden wir induktiv$u_n \leq y(n) \leq w_n$. Insbesondere wir wir das, wenn die Ungleichung gilt$n = k$, dann $$ \begin{align} w_{k+1} &= w_k + f(w_k) \geq y(k) + f(w_k) \geq y(k) + f(y(k)) \\ & \geq y(k) + [y(k+1) - y(k)] = y(k+1), \end{align} $$ und die Ungleichheit $y(k+1) \geq u_{k+1}$ kann ähnlich gesehen werden.

Damit können wir folgendes schließen: wenn $f$ ist so, dass die Wiederholung $u_{n+1} = f(u_n) + u_n$ hat für alle die gleiche Asymptotik $u_0 > 0$Daraus folgt, dass die Asymptotik der Sequenz $(y(n))_{n \in \Bbb N}$ generiert aus einer Lösung zu $y' = f(y)$ mit $y(0) > 0$ sind gleich.