S-unital kompakte Ringe sind profinit
Es ist bekannt, dass kompakte topologische Hausdorff- Unitalringe profinit sind. Der Beweis verallgemeinert sich auf (links oder rechts) s-unitale Ringe (dh Ringe, die für alle gelten$r\in R$ wir haben $r\in Rr$ oder für alle $r\in R$ wir haben $r\in rR$).
Gibt es einen Hinweis auf diese allgemeinere Tatsache? Gibt es eine weitere Verallgemeinerung (dh eine interessante Klasse von Ringen, die s-unitale Ringe enthalten, für die kompaktes Hausdorff Profinit impliziert)?
(Beachten Sie, dass dies nicht für alle Ringe gilt, wie bei jeder kompakten Hausdorff-Abelschen Gruppe $A$können wir ausstatten $A$ mit null Multiplikation, was es zu einem kompakten topologischen Hausdorff-Ring macht.)
Antworten
Dies wird im Wesentlichen in einer der Antworten auf Ist jeder kompakte topologische Ring ein profinitischer Ring beantwortet ? .
Wenn ein kompakter Ring $R$ entweder lässt kein Element zu $r\neq 0$ mit $rR=0$oder die links-rechts-Doppelbedingung ist dann profinit. Dies ist die Bedingung, die die Multiplikationskarte induziert und einbettet$R$ in die Endomorphismen des Pontryagin dual seiner additiven Gruppe, die Sie verwenden, um die völlige Unverbundenheit zu beweisen.
Siehe Thm 3 von On Compact Topologica Rings. von Hirotada Anzaihttps://projecteuclid.org/euclid.pja/1195573244