Struktur der Spaltensummen realer orthonormaler Matrizen

Question

Angenommen, ich habe eine quadratische echte orthonormale Matrix $A \in O(D)$. Ich würde gerne verstehen, welche Struktur in der Menge der Spaltensummen von vorhanden ist$A$.

Zum Beispiel, $O(2)$kann durch einen einzelnen Skalar parametriert werden. Um zu sehen warum, überlegen Sie$A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$. Da die erste Spalte Einheitsnorm haben muss,$c = \sqrt{1 - a^2}$. Da die zweite Spalte orthogonal zur ersten Spalte sein muss und auch eine Einheitsnorm haben muss,$b = -c$ und $d = a$. Folglich,$A = \begin{bmatrix} a & -\sqrt{1 - a^2}\\ \sqrt{1 - a^2} & a \end{bmatrix}$ und die Spaltensummen sind $a + \sqrt{1 - a^2}$ und $a - \sqrt{1 - a^2}$. Wenn ich die Spaltensummen als Funktion von zeichne$a$Ich beobachte diese schönen Kurven:

Meine Frage ist: Wie verallgemeinert sich diese Struktur? $O(D)$? Wird eine bestimmte Menge konserviert? Wenn ich die Spaltensummen in absteigender Reihenfolge ordne, gilt dann eine Beziehung zwischen ihnen?

Vielleicht möchte ich einen Satz, der besagt, "ob die Summen der vorherigen Spalten waren." $A, B, C,...$ dann ist die Summe der nächsten Spalte gleich $Z$ Ich bin zwischen $[-X, Y]$""

Answer 1

Zu wissen, dass die Menge aller möglichen Spaltensummenvektoren eine Kugel ist, beantwortet im Wesentlichen alle möglichen Fragen, die Sie zu solchen Vektoren stellen möchten. Insbesondere haben wir:

Lassen $S(n)$ sei die Menge der Spaltensummenvektoren orthogonaler Matrizen in $O(n)$. Dann$S(n)$ ist gleich der Kugel des Radius $\sqrt n$ zentriert am Ursprung.

Aus den Kommentaren:

Kann ich darüber hinaus noch etwas sagen? Da die Vektoren orthonormal sind, deutet dies darauf hin, dass das Fixieren eines (oder mehrerer) stark einschränkt, welche verbleibenden Punkte auf der Kugel ausgewählt werden können.

Wenn Sie die Hypothese einbringen, dass die Vektoren orthonormal sind, können Sie möglicherweise keine stärkeren Ergebnisse erzielen, da diese Hypothese in den Satz eingebettet ist, dass die Menge aller Spaltensummenvektoren eine Kugel ist. Ja, das Festlegen einer oder mehrerer Koordinaten schränkt die anderen ein - aber es schränkt sie nur und genau dadurch ein, dass sie so ausgewählt werden müssen, dass der resultierende Punkt auf einer Kugel endet. Es macht keinen Sinn, weitere Einschränkungen zu erwirken, da dies dazu führt$S(n)$ist gleich einer Kugel - keine Teilmenge davon und keine Obermenge davon, sondern gleich. Daher ist die Beschränkung so eng wie es nur geht.

Zum Beispiel:

1. Sie können parametrieren $S(n)$unter Verwendung einer beliebigen Standardparametrisierung einer Kugel .

2. Ja, wenn Sie das erste Problem beheben $k$Koordinaten, dies schränkt die verbleibenden Koordinaten ein, da der gesamte Vektor auf einer Kugel enden muss. Insbesondere die verbleibenden Koordinaten$a_{k+1}, ..., a_n$ muss so gewählt werden, dass $$a_{k+1}^2+...+a_n^2=n-(a_1^2+...+a_k^2)$$ Mit anderen Worten, wenn $r^2=a_1^2+...+a_k^2$Die verbleibenden Koordinaten müssen aus einer Kugel mit Radius ausgewählt werden $\sqrt{n-r^2}$ im $(n-k)$-dimensionaler Raum.