Topologie - Jede injektive Quotientenkarte ist ein Homöomorphismus

Nov 21 2020

Ich werde zeigen, dass jede injektive Quotientenkarte ein Homöomorphismus ist:

Lassen $(X,\tau_{X})$, $(Y,\tau_{Y})$ seien topologische Räume.

Definitionen:

$q:X \rightarrow Y$ ist eine Quotientenkarte iff $q$ ist surjektiv ($q[X] = Y$) und $$ \forall V\subseteq Y: V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X $$ wo $[]$ wird verwendet, um das Bild einer Funktion zu bezeichnen. $f:X \rightarrow Y$ ist ein Homöomorphismus iff $f$ ist bijektiv und $$ \forall U\subseteq X: U\in \tau_{X} \iff f[U] \in \tau_Y $$

Lemma: $$\forall x \forall y: P(x,y) \implies Q(x)$$ ist äquivalent zu $$\forall x: Q(x) \land \forall x \exists y: P(x,y)$$

Beweis des Lemmas: Beweis

Beweis:

Es reicht aus zu zeigen, dass wenn $q$ ist injektiv, $\forall V\subseteq Y: V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X$ ist äquivalent zu $\forall U\subseteq X: U\in \tau_{X} \iff q[U] \in \tau_Y$.

Anmerkungen: Injektivität von $q$ stellt sicher $q^{-1}[q[U]] = U$ für alle $U \subseteq X$. Für eine Vermutung$q$, $\forall V \subseteq Y: \exists U \subseteq X: q[U] = V$ ist eine logische Notwendigkeit.

$$ \begin{align} &\forall V\subseteq Y: V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X& \\ &\iff (\forall V\subseteq Y: V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X) \land (\forall V \subseteq Y: \exists U \subseteq X: q[U] = V)& \text{Tautology}\\ &\iff \forall V\subseteq Y : \forall U \subseteq X: q[U] = V \implies V\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[V] \in \tau_X & \text{Lemma}\\ &\iff \forall U \subseteq X: \forall V\subseteq Y : q[U] = V \implies q[U]\in \tau_{Y} \iff q^{-1}[q[U]] \in \tau_X &p \rightarrow q \iff p\rightarrow p \land q\\ &\iff \forall U \subseteq X: \forall V\subseteq Y : q[U] = V \implies q[U]\in \tau_{Y} \iff U \in \tau_X & \text{Injectivity}\\ &\iff (\forall U\subseteq X : q[U]\in \tau_{Y} \iff U \in \tau_X) \land (\forall U \subseteq X:\exists V \subseteq Y: q[U] = V) &\text{Lemma}\\ &\iff \forall U\subseteq X : q[U]\in \tau_{Y} \iff U \in \tau_X& \text{Tautology}\\ \end{align} $$

Ist das richtig?

Antworten

2 PaulFrost Nov 22 2020 at 06:35

Ihr Beweis ist korrekt, aber schwer zu verstehen und unnötig kompliziert.

Ihr Lemma ist eine rein logische Aussage, und es ist ungewöhnlich, einen konkreten Beweis mit einer solchen Aussage zu beginnen. Tatsächlich basieren alle Argumente auf Logik, und wir müssen diese Grundlage als selbstverständlich betrachten. Andernfalls müsste jeder Beweis mit einer Erklärung aller logischen, theoretischen usw. Fragen beginnen.

Das Wesentliche Ihrer Argumente ist dies:

  1. Beliebige Quotientenkarte $q$ ist eine kontinuierliche Vermutung.

  2. Beliebige injektive Quotientenkarte $q$ist eine kontinuierliche Bijektion. Es genügt also zu zeigen, dass wenn$U \in \tau_X$, dann $p(U) \in \tau_Y$. Aber das ist seitdem offensichtlich$p^{-1}(p(U)) = U$ für injektive Karten.