Um zu zeigen, dass das Integral $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$ konvergiert und ist kleiner oder gleich als $n^{3/2}\pi$ [Duplikat]

Dec 10 2020

Betrachten Sie ein Polynom $p \in \mathbb{R}[x]$ Grad $n$und ohne echte Wurzeln. Beweise das$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(p'(x))^2}{(p(x))^2+(p'(x))^2}dx$$konvergiert und ist kleiner oder gleich als $n^{3/2}\pi$

Mein Ansatz

Nun lass $x_1, x_2, \dots, x_n$ seien die Wurzeln von $p$. Von Cauchy-Schwarz

$$(\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{x-x_k}})^2\leq n\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{|x-x_k|^2}}$$

Ich weiß nicht, was ich als nächstes tun soll. Wenn ich falsch liege, geben Sie bitte eine ausführliche Antwort im Antwortbereich. Ich habe gezeigt, woran ich gedacht oder was ich getan habe.

Kann jemand bestätigen, ob mein Denkprozess richtig ist?

Nur zur Erinnerung ... Diese Frage ist seit langem unbeantwortet geblieben

Dankeschön.

Antworten

HenryLee Dec 11 2020 at 01:33

Zunächst können wir definieren: $$p_n(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k\tag{1}$$ $$p_n'(x)=\sum_{k=0}^nka_kx^{k-1}$$


Nun zum multinomialen Theorem: $$\left(\sum_{i=1}^mx_i\right)^n=\sum_{\sum j_i=n}{n\choose{j_1,j_2...j_m}}\prod_{t=1}^mx_t^{j_t}$$ Daraus sollten Sie einen Ausdruck für Folgendes finden können: $p_n^2$ und $p_n'^2$.


Beachten Sie nun auch, dass nach dem, was wir wissen (da es keine wirklichen Wurzeln gibt): $$p_n(x_0)=\sum_{k=0}^na_kx_0^k\ne0\,\,\,\,x_0\in\mathbb{R}$$ Wir wissen das: $$p_n(x)^2=O(x^{2n})$$ $$p_n'(x)^2=O(x^{2(n-1)})$$ und so ist es klar, dass: $$\frac{p_n'(x)^2}{p_n(x)^2+p_n'(x)^2}=O\left(\frac1{x^2}\right)$$