Ungleichheit $\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}-\frac{c}{a+b}-\frac{a}{b+c}-\frac{b}{a+c}\ge 3/2$
beweisen das für $a,b,c$ positiv sein und $a+b+c=1$::$$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}-\frac{c}{a+b}-\frac{a}{b+c}-\frac{b}{a+c}\ge 3/2$$
Dies ist eine sehr interessante Ungleichung, auf die ich zufällig gestoßen bin. Wir sehen auch, dass der Zustand $a+b+c=1$ wird nicht benötigt. Ich habe die Ungleichung leicht mit Nesbitts Ungleichung modifiziert und daher läuft sie darauf hinaus, eine noch stärkere Ungleichung zu beweisen $$\sum_{cyc}\left(\frac{b}{a}-\frac{2c}{a+b}\right)\ge 0$$Da dies eine stärkere Version war, habe ich WA überprüft, was zeigt, dass es gültig ist. Ich habe versucht, ein SOS zu erhalten, aber es ist fehlgeschlagen. Das Problem ist, dass wir selbst nach vollständiger Erweiterung und Kreuzmultiplikation eine zyklische Ungleichung erhalten und daher der Satz von Muirheads fehlschlägt.
Antworten
Erste Ungleichung: $$ LHS = \sum_{cyc} \dfrac{bc}{a(a+c)} = \sum_{cyc} \dfrac{(bc)^2}{a^2bc+abc^2} \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{ 2abc(a+b+c)} \ge \dfrac{3}{2}$$
Bei Verwendung eines Computeralgebrasystems stellt sich heraus, dass die Ungleichung im Titel nach Erweiterung auf die Ungleichung gleich ist: $$ 2\sum_{\text{cyclic}}a^4b^2 + 2\sum_{\text{cyclic}}a^3b^3 \ge \sum_{\text{cyclic}}a^3bc(b+c) + 6a^2b^2c^2\ . $$ Jetzt repräsentieren wir die Monomialkräfte $(r,s,t)$ im Flugzeug $r+s+t=6$und in jeden "Knoten", der in der Ungleichung erscheint, platzieren wir den entsprechenden Koeffizienten. Dies erleichtert das Auffinden eines Dominanzschemas. Das Bild ist wie folgt:
b^6
.
. .
. . 2
2 -1 -1 2
2 -1 -6 -1 .
. . -1 -1 . .
. . . 2 2 . .
a^6 c^6
Ein Kommentar zum Schema. Die "extremen Eckpunkte" sind mit markiert$a^6$ alias $(6,0,0)$, $b^6$ alias $(0,6,0)$, und $c^6$ alias $(0,0,6)$.
Betrachten Sie die "Basislinie", die die Eckpunkte für verbindet $b^6$ und $c^6$. Parallelen zu dieser Linie, die durch die Gitterpunkte verläuft, sind Linien mit Konstante$a$-Teil im Monom. Also die parallele Linie "unmittelbar nach der Linie von$b^6$ zu $c^6$"ist die Linie von $ab^5$ zu $ac^5$und die Gitterpunkte darauf entsprechen $ab^sc^t$ mit $s+t=5$.
Die eingefügten Koeffizienten sind die Koeffizienten in der anzuzeigenden Ungleichung. Wir können mit den positiven Koeffizienten an einigen "Knoten" einen (und ähnlich mehr) negativen Koeffizienten an diesen Knoten in der konvexen Hülle "dominieren". Zum Beispiel kann ein Dominanzschema angewendet werden, indem aus den positiven Positionen verwendet wird, die mit einer Klammer in markiert sind
b^6
.
. .
. . 2
[2][-1][-1][2]
2 -1 -6 -1 .
. . -1 -1 . .
. . . 2 2 . .
a^6 c^6
und von jedem $[2]$ nur benutzen $[1]$ zu dominieren $[-1]$Begriff. Explizit verwenden wir:$$ b^3(a^3-a^2c-ac^2+c^3)\ge 0\ . $$ Verwenden Sie dieses Muster für alle anderen $[-1]$Einträge. Endlich, das$-6$in der Mitte dominieren die verbleibenden Positionen. (Arithmetisches Mittel ist$\ge$ dann zum Beispiel geometrisches Mittel.)
Die behauptete stärkere Ungleichung ist falsch. Wenn wir uns erweitern, müssten wir gleichwertig eine Ungleichung zeigen, die entspricht:
b^6
.
. .
. -1 1
1 . . 1
1 . -6 . .
. -1 . . -1 .
. . . 1 1 . .
a^6 c^6
Aber es gibt keine Chance, die zu dominieren $-1$Einträge. Sie entkommen der konvexen Hülle der positiven Einträge. Es reicht aus, die Monome in zu betrachten$a^4$. Eine Ungleichung der Form$a^4b^2-a^4bc\pm\dots\ge 0$ (wo die Punkte bedecken $O(a^3)$) wird niemals passieren, nimm einfach $a=a(n)$ das Polynom sein $a(n)=n$, dann $b,c$ Konstanten mit $c>b$und weiter mit $n$zur Unendlichkeit. Wenn Sie wissen, wie der "schlechte Fall" erzeugt wird, ist es auch einfach, die gegebene Ungleichung zu überprüfen. Die einzigen Begriffe mit$a$ im Zähler sind in $$ \frac ac-\frac{2a}{b+c}\ . $$ Jetzt benutzen $a=a(n)=n$, $b=1$, $c=100$.