Verbesserte Klassifizierung kompakter Lie-Gruppen
Diese Frage ist eine Fortsetzung der Klassifikation von (nicht notwendigerweise verbundenen) kompakten Lie-Gruppen . In der Antwort auf diese Frage hat @LSpice bewiesen, dass jede kompakte, nicht unbedingt verbundene Lie-Gruppe$G$nimmt die Gestalt an$$ G = \frac{G_0 \rtimes R}{P} $$wo$G_0$ist die Identitätskomponente von$G$,$R$ist eine endliche Gruppe, und$P$ist eine endliche, gemeinsame Untergruppe von$G_0$und$R$das ist innen zentral$G_0$(muss aber nicht im Mittelpunkt stehen$R$).
Dennoch gibt es viele Möglichkeiten für das halbdirekte Produkt. Um die Liste einzugrenzen, wäre es zweckmäßig, diese Elemente von zu trennen$R$die durch nichttriviale äußere Automorphismen wirken$G_0$und ändere den Rest so, dass sie mit pendeln$G_0$.
UPDATE: Meine ursprüngliche Hypothese (unten) ist falsch. Eine schwächere, möglicherweise korrekte Version ist:
Hypothese: $R$und$P$kann oben so gewählt werden, dass jedes Element von$R$entweder (1) wirkt durch einen nicht-trivialen äußeren Automorphismus auf$G_0$oder (2) handelt trivial weiter$G_0$.
UPDATE 2: @LSpice hat dies in der aktualisierten Antwort auf die Klassifizierung von (nicht unbedingt verbundenen) kompakten Lie-Gruppen bewiesen . Eine kurze Umformulierung des Beweises ist in meiner Antwort unten angegeben.
Im Vergleich dazu ist dies falsch:
Hypothese: Beliebige kompakte Lie-Gruppe$G$kann in das Formular geschrieben werden$$ G = \frac{(G_0 \times H) \rtimes R}{P} $$wo$H, R, P$sind endliche Gruppen und nichttriviale Elemente von$R$wirken durch nichttriviale äußere Automorphismen auf$G_0$.
Gegenbeispiel: überlegen$G = U(1) \rtimes \mathbb{Z}_4$, wo der Generator$r$von$\mathbb{Z}_4$wirkt durch den äußeren Automorphismus "Ladungskonjugation".$r^{-1} e^{i \theta} r = e^{-i \theta}$an$U(1)$. In jeder endlichen Erweiterung$G'$dieser Gruppe, Elemente von$\pi_0(G)$Diese Act-by-Charge-Konjugation wird niemals mit der Identität in übereinstimmen$G'$, damit$G'$nimmt nie das Erforderliche$(G\times H) \rtimes \mathbb{Z}_2$bilden mit$\mathbb{Z}_2$Einwirken auf$U(1)$durch Ladungskonjugation.
Antworten
@LSpice hat meine überarbeitete Vermutung bereits in der aktualisierten Antwort auf die Klassifizierung von (nicht unbedingt verbundenen) kompakten Lie-Gruppen bewiesen , aber lassen Sie mich einen weiteren, eng verwandten Beweis geben.
Seit$1\to \mathrm{Inn}(G_0) \to \mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0) \to 1$immer spaltet, siehe Spaltt Aut(G) → Out(G) immer für eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe G? , können wir eine Untergruppe auswählen$R_0 \subseteq \mathrm{Aut}(G_0)$für die die Beschränkung von$\mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0)$ist ein Isomorphismus. Das umgekehrte Bild von$R_0$unter der Karte$f:G \to \mathrm{Aut}(G_0)$durch Konjugation induziert ist eine Untergruppe$K \subseteq G$dessen Schnittpunkt mit$G_0$ist$Z(G_0)$.
Beliebige multiplizieren$g\in G$durch Willkür$h \in G_0$multipliziert das zugehörige$f(g) \in \mathrm{Aut}(G_0)$durch einen willkürlichen inneren Automorphismus$f(h) \in \mathrm{Inn}(G_0)$, ohne Veränderung$g$verbundene Komponente. Daher,$K$erfüllt jede angeschlossene Komponente von$G$.
Gibt es unter Verwendung des Ergebnisses von In jeder Lie-Gruppe mit endlich vielen verbundenen Komponenten eine endliche Untergruppe, die jede Komponente erfüllt? ,$K$hat eine endliche Untergruppe$R$das trifft jede Komponente von$K$, daher erfüllt es jede Komponente von$G$auch und schneidet$G_0$innerhalb$Z(G_0)$. Designbedingt sind die Elemente von$R$entweder wirken durch nichttriviale äußere Automorphismen weiter$G_0$oder sie wirken trivial auf$G_0$. Dies beweist meine (revidierte) Vermutung.
KOMMENTAR HINZUGEFÜGT: Eine interessante, aber falsche Verallgemeinerung wird unten angegeben und widerlegt.
Es ist bekannt, dass jede kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe$G_0$nimmt die Gestalt an$$G_0 = \frac{T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell}{P}$$wo$T^k$bezeichnet a$k$-Torus,$G_1, \ldots, G_\ell$sind kompakte, einfach zusammenhängende, einfache Lie-Gruppen und$P$ist zentral. Man könnte meinen, dass die Quotienten in den Ausdrücken für$G$und$G_0$kombiniert werden könnten, so dass jede kompakte Lie gruppe$G$würde die Form annehmen:$$ G = \frac{(T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell) \rtimes R}{P} $$wobei wie zuvor jedes Element von$R$wirkt durch ein nicht-triviales Äußeres oder wirkt trivial auf$T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell$. Dies ist jedoch falsch .
Gegenbeispiel: Betrachten$G=(\mathrm{SO}(2k) \rtimes \mathbb{Z}_4) / \mathbb{Z}_2$, wo der Generator$r \in \mathbb{Z}_4$wirkt per Parität auf$\mathrm{SO}(2k)$und$r^2 = -1 \in SO(2k)$. Nun lass$G’=(\mathrm{Spin}(2k) \rtimes R)/P$eine Abdeckung sein von$G$dessen Zusammenhangskomponente ist$G_0'=\mathrm{Spin}(2k)$. Es gibt einige Elemente$r'$von$R$das Projekte zu$r$, somit$r’$wirkt auf$\mathrm{Spin}(2k)$nach Parität. Wenn$k$ist dann seltsam$Z(G_0') = \mathbb{Z}_4$, und$(r’)^2$muss eines der beiden Elemente der Ordnung 4 Zoll sein$Z(G_0')$zu projizieren$(r)^2 = -1$. Allerdings tauscht die Parität diese beiden Elemente aus, so finden wir$(r’)^{-1} (r’)^2 r’ \ne (r’)^2$, was ein Widerspruch ist. Der Fall sogar$k$ist sehr ähnlich.