Vergleichen Sie Steuern Cobb-Douglass und mehr

Question

Eine Dienstprogrammfunktion für einen Verbraucher sei definiert als $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{1/2} x_{2}^{1/2}$. Mit dem Budget$x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}=m$. Mit Werten$p_1=p_2=1, m=32$. Der Staat fügt jetzt eine Steuer von Einheit 3 ​​hinzu$p_{1}$ (pr. Einheit $x_1$)

Wie wirkt es sich auf den Nutzen aus? Was verdient der Staat?

• Ich bekam das Dienstprogramm vor 16 und nach 8 mit Steuern in Höhe von 12 pro Einheit $x_1$

Der Staat betrachtet nun eine Einkommenssteuer so, dass das Einkommen jetzt ist $m-T$Wie viel wird der Staat mit dem neuen System verdienen, während der Verbraucher gleichgültig bleibt ? Welches System ist besser?

• Ich dachte mir, dass ich die Steuer in der Versorgungsfunktion unter optimalen Nachfragebedingungen lösen würde, so dass ich einen Versorgungswert von 8 kepy. Dies gab mir 16 Einkommenssteuereinheiten.

Wie macht man den letzten Teil mathematisch? Ich denke, die Einkommensteuer ist für den Verbraucher besser, aber wie kann ich sie mathematisch darstellen?

Answer 1

Die Intuition, die Sie haben, ist richtig. Mathematisch können Sie dies zeigen, indem Sie zuerst die optimalen Entscheidungen mit der pauschalen Einkommensteuer ableiten. Sie werden also den folgenden Lagrange einrichten:

$$\mathcal{L} = x^{1/2}_1 x^{1/2}_2 - \lambda [x_1p_1+x_2p_2 - m + T] $$

Dies gibt Ihnen 3 FOCs die Budgetbeschränkung und:

$$ 0.5x_1^{-0.5} x_2^{0.5} = \lambda p_1 \\ 0.5x_2^{-0.5} x_2^{0.5} = \lambda p_2$$

Löse für optimal $x_1^*$ und $x_2^*$::

$$ x_1^* = \frac{m-T}{2p_1} = \frac{32-T}{2} \\ x_2^* = \frac{m-T}{2p_2} = \frac{32-T}{2}$$

Wo hier die zweiten Gleichheiten die Annahmen ausnutzen, dass $p_1 = p_2=1$ und $m=32$.

Jetzt können Sie dies einfach in die Utility-Funktion einstecken und vorausgesetzt, Sie haben keinen Fehler gemacht, setzen Sie dies dem Utility mit der Verbrauchsteuer gleich $p_1$ So haben Sie:

$$ 8 = \left( \frac{32-T}{2}\right)^{0.5} \left( \frac{32-T}{2}\right)^{0.5} \\ T =16$$

Also unter dem Einkommensteuerregime bekommt die Regierung $T=16> t=12$Während der Verbraucher immer noch den gleichen Nutzen wie unter der Verbrauchsteuer hat, ist die Einkommensteuer besser. Die Intuition dafür ist, dass die Einkommensteuer die relativen Preise nicht verzerrt, sondern nur einen Einkommenseffekt hat, während die Verbrauchssteuer sowohl Einkommens- als auch Substitutionseffekte hat.