Verstehen $P_i$ Hauptkomponente.
Aus der abstrakten Algebra von Dummit und Foote nach dem Beweis

Es heißt folgendes.

Im Unterricht haben wir definiert $N_i$ zu sein $p_i$-primäre Komponente von $M$. Aber ich habe Probleme zu verstehen, welche Gruppierung aller zyklischen Faktoren derselben Primzahl entspricht$p_i$.
Ich vermute, dass wir bei der Zerlegung Primzahlen bekommen $p_1, \ldots p_t$. Und aus diesen wählen wir verschiedene heraus$p_1, \ldots p_n$. Und sagen wir?$N_i = R/(p_i^{\alpha_s}) \oplus \ldots \oplus R/(p_i^{\alpha_k})$? Und ist keine Vereinfachung mehr möglich?
Vielen Dank.
Antworten
Du hast Recht. Sie lassen$N_i$ sei die direkte Summe der Komponenten, die der Primzahl entsprechen $p_i$ (bei dem die $p_i$sind jetzt verschiedene Primzahlen). Eine Vereinfachung ist nicht mehr möglich.
Eine Sache, auf die Sie achten sollten: Die $N_i$ werden von der Gruppe eindeutig bestimmt $M$, aber die Komponenten innerhalb eines $N_i$sind nicht eindeutig bestimmt. Zum Beispiel gibt es viele Möglichkeiten, sich zu zersetzen$\mathbb{Z} / p\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} / p\mathbb{Z}$ als direkte Summe dieser Form.