Verwirrt über das Tensorprodukt von R-Modulen

Dec 31 2020

In Tus Buch über Differentialgeometrie definiert er zuerst $Free(V\times W)$ wie:

$$\sum r_i(v_i, w_i), r_i \in R, (v_i, w_i) \in V \times W$$ wo die Summe endlich ist.

So wie ich es verstehe, besteht die obige Konstruktion aus formalen Kombinationen und vergisst die tatsächliche Struktur der Module. Mit anderen Worten, wenn$v_1+v_2 = v_3$, es ist nicht wahr, dass in $Free(V\times W)$ Das $(v_1, 0) + (v_2, 0) = (v_3, 0)$

Um nun das Tensorprodukt zu bilden, quotieren wir durch das Submodul, $S$ überspannt von Elementen des Formulars: $$ (v_1 + v_2, w) - (v_1, w) - (v_2, w)\\ (v,w_1 + w_2) - (v, w_1) - (v, w_2)\\ (rv,w) - r(v,w)\\ (v, rw) - r(v,w)$$ Dann haben wir eine Karte vom Produkt zum Tensorprodukt, $$(v,w) \rightarrow v\otimes w$$

jedoch, wenn $v_3 = v_1 + v_2$, dann kann ich das nicht zeigen $$v_3\otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$$ was sollte der Fall sein, wenn $\otimes$ist eine bilineare Modulhomomorphismuskarte .

Antworten

1 azif00 Dec 31 2020 at 02:03

Schon seit $V \otimes W := \operatorname{Free}(V \times W)/S$ und $\otimes : V \times W \to V \otimes W$ ist definiert durch $$(v,w) \mapsto v \otimes w := (v,w)+S,$$ die Bedingung $(v_1 + v_2, w) - ((v_1, w) + (v_2, w)) \in S$ sagt uns das $$(v_1 + v_2, w)+S = ((v_1, w) + (v_2, w))+S = ((v_1,w)+S) + ((v_2,w)+S)$$ das ist das gleiche wie $(v_1 + v_2) \otimes w = v_1 \otimes w + v_2 \otimes w$. Beachten Sie auch, dass die anderen Beziehungen definieren$S$ gibt uns \begin{align} v \otimes (w_1+w_2) &= v \otimes w_1 + v \otimes w_2, \\ (rv) \otimes w &= r(v \otimes w), \\ v \otimes (rw) &= r(v \otimes w).\end{align}


Denken Sie daran, wenn $M$ ist ein $R$-Modul und $S$ ist ein Submodul von $M$, der Quotient $M/S$ ist definiert durch $M/\!\sim$, wo $$(\forall u_1,u_2 \in U) \quad u_1 \sim u_2 \iff u_1-u_2 \in S.$$ In diesem Fall ist die Äquivalenzklasse von $m \in M$ ist gegeben durch $m+S := \{m+s : s \in S\}$ (daher $m+S = m'+S \iff m-m' \in S$), und wir definieren eine $R$-Modulstruktur in $M/S$ durch $$(\forall m,m' \in M)(\forall r \in R) \quad r(m+S)+(m'+S) := (rm+m')+S.$$

Jeff Dec 31 2020 at 12:10

Für die Nachwelt möchte ich eine Antwort für andere schreiben, die möglicherweise die gleiche Verwirrung haben. Wie @KCd klarstellte, sind Elemente von$Free(V\times W)$ sind von der Form,

$$\sum r_i(v_i, w_i)$$

Wenn wir jedoch ein bestimmtes Element von schreiben $Free(V\times W)$ wie $r_1(v_1 + v_2, w_1)$ und $v_3 = v_1 + v_2$ dann $$r_1(v_1 + v_2, w_1) = r_1(v_3, w_1)$$ Mit anderen Worten, innerhalb unserer Klammern in unserer Notation nehmen wir keine formalen Summen, sondern kombinieren Elemente des Moduls wie gewohnt.