Warum$8^{\frac{1}{3}}$ist$1$,$\frac{2\pi}{3}$, und$\frac{4\pi}{3}$

Question

Die Frage ist:

Verwenden Sie den Satz von DeMoivre, um zu finden$8^{\frac{1}{3}}$. Drücken Sie Ihre Antwort in komplexer Form aus.

Wähle eins:

a. 2

b. 2, 2 cis (2$\pi$/3), 2 cis (4$\pi$/3)

c. 2, 2 cis ($\pi$/3)

d. 2 Cis ($\pi$/3), 2 Cis ($\pi$/3)

e. Keiner von diesen

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ich denke, dass$8^{\frac{1}{3}}$ist$(8+i0)^{\frac{1}{3}}$

Und,$r = 8$

Und,$8\cos \theta = 8$und$\theta = 0$.

So,$8^{\frac{1}{3}}\operatorname{cis} 0^\circ = 2\times (1+0)=2$

Ich habe gerade erst$2$. Wo und wie andere$\frac{2\pi}{3}$, und$\frac{4\pi}{3}$komme aus?

Answer 1

Wir könnten es so betrachten:
$$8^{\frac13}=2.1^{\frac13}=2\cdot \text{CiS}\left(\frac{2k\pi}{n}\right)$$Jetzt für verschiedene Werte von$k$, haben wir unterschiedliche Antworten: (hier$n$ist$3$)$$k=1\implies 8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS} \left(\frac{2\pi}{3}\right)$$ $$k=2\implies8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS}\left(\frac{4\pi}{3}\right)$$ $$k=3\implies8^{\frac13}=2\cdot\text{CiS}(2\pi)=2$$

Du könntest nachlesen$n^{\text{th}}$Wurzeln der Einheit auf Wikipedia, um sich ein besseres Bild zu machen

Answer 2

Lassen$z^3=8$.

Daher,$$(z-2)(z^2+2z+4)=0,$$was gibt$$\{2,-1+\sqrt3i,-1-\sqrt3i\}$$oder$$\left\{2(\cos0+i\sin0),2\left(\cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right), 2\left(\cos\frac{4\pi}{3}+i\sin\frac{4\pi}{3}\right)\right\}$$

Answer 3

Hier,$$\begin{align*} 8^{1/3} &= (|8|e^{2\pi kj})^\frac{1}{3}, k = 0,1,2\\ &= |8|^\frac{1}{3} e^{\frac{2}{3}\pi kj}, k = 0,1,2\\ &= 2 e^{\frac{2}{3}\pi kj}, k = 0,1,2\\ \end{align*}$$

so für$k=1$,$k=2$wir bekommen$\frac{2\pi}{3}$und$\frac{4\pi}{3}$

Oder nimm:$$8^{1/3}=x$$Dann bekommen wir,

$$(x-2)(x^2+2x+4)=0$$

Dann bekommen wir unsere gewünschten Wurzeln.

Answer 4

$8^{\frac{1}{3}}$=$2(1)^{\frac{1}{3}}=2,2\omega,2{\omega}^2$

hier$\omega$ist die Kubikwurzel der Einheit