Warum entsprechen die Kongruenzrelationen normalerweise einer Art Unterobjekt?
Aus der Perspektive der universellen Algebra werden Quotientenstrukturen algebraischer Strukturen mit aufgebaut https://en.wikipedia.org/wiki/Congruence_relation. Wenn$A$ ist eine algebraische Struktur (eine Menge mit einer Reihe von Operationen auf der Menge) und $R$ Kongruenzrelation auf einer Menge, dann der Quotient $A/R$ ist gut definiert und es wird eine algebraische Struktur des gleichen Typs sein.
Nun stellt sich heraus, dass insbesondere in algebraischen Kategorien diese Kongruenzbeziehungen bestehen $A$ entsprechen genau einer Art von Unterobjekt von $A$. Zum Beispiel entsprechen die Kongruenzbeziehungen auf einem Ring genau den Idealen dieses Rings; Die Kongruenzbeziehungen zu einer Gruppe entsprechen genau den normalen Untergruppen dieser Gruppe. Die Kongruenzrelationen auf einem Modul entsprechen genau den Submodulen dieses Moduls.
Warum entsprechen die Kongruenzrelationen normalerweise einer Art Unterobjekt? Ist dies ein allgemeines Phänomen, das auf alle algebraischen Strukturen verallgemeinert werden kann (wie in dieser Allgemeinheit durch universelle Algebra untersucht)?
Antworten
Denken Sie daran, dass Kongruenzen auf $A$ kann als bestimmte Subalgebren seines Quadrats angesehen werden $A^2,\,$ z.B https://math.stackexchange.com/questions/16121/find-all-subrings-of-mathbbz2/16157#16157.
In Algebren wie Gruppen und Ringen, wo wir uns normalisieren können $\,a = b\,$ zu $\,a\!-\!b = \color{#c00}0\,$Kongruenzen werden durch eine einzelne Kongruenzklasse bestimmt (z. B. ein Ideal in einem Ring). Dies hat den Effekt, dass die Beziehung zwischen Kongruenzen mit Subalgebren aus kollabiert$A^2$ bis zu $A.\,$Solche Algebren werden als ideal bestimmte Sorten bezeichnet und wurden vielfach untersucht.
Eine Antwort auf Ihre Frage ist, dass ideal bestimmte Sorten durch zwei Eigenschaften ihrer Kongruenzen gekennzeichnet sind, nämlich Sein $\,\rm\color{#c00}{0\text{-regular}}\,$ und $\rm\color{#c00}{0\text{-permutable}}$. Im Folgenden finden Sie einen Auszug aus einem Artikel zu verwandten Themen, der einen guten Einstieg in die Literatur zu diesem und verwandten Themen bietet.
http://dx.doi.org/10.1007/s000120050059
Paolo Agliano und Aldo Ursini
- Vorwort
Uns wurden folgende Fragen gestellt:
- (a) Wofür sind Ideale in der universellen Algebra gut?
- (b) Wofür sind subtraktive Sorten gut?
- (c) Gibt es einen Grund, die Definierbarkeit der Hauptideale zu untersuchen?
Da Sie sich mitten in einem Projekt mit subtraktiven Sorten befinden, scheint dies der richtige Ort zu sein, um sie anzusprechen.
Zu einem). Der Begriff des Ideals in der allgemeinen Algebra [13], [17], [22] zielt darauf ab, einige wesentliche Eigenschaften der Kongruenzklassen von wiederzuerlangen$0$für eine gegebene Konstante $0$. Es umfasst: normale Untergruppen, Ideale in Ringen oder Operatorgruppen, Filter in Booleschen oder Heyting-Algebren, Ideale in der Banach-Algebra, in L-Gruppen und in vielen weiteren klassischen Umgebungen. In gewissem Sinne ist es ein Luxus, wenn man mit dem Begriff "Kongruenzklasse von" zufrieden ist$0$". So könnte diese Frage zum Teil werden: Warum Ideale in Ringen? Warum normale Untergruppen in Gruppen? Warum Filter in Booleschen Algebren? Und viele mehr. Wir haben keine Lust, eine Antwort auf diese Fragen zu versuchen. In einem anderen Sinne Frage ( a) schlägt ähnliche Fragen vor: Wofür sind Subalgebren in der universellen Algebra gut? Und viele mehr. Möglicherweise gibt es das gesamte Unternehmen namens "universelle Algebra", um solche Fragen zu beantworten?
Es ist jedoch klar, dass die am besten geeignete Einstellung für eine Theorie der Ideale die der ideal bestimmten Klassen ist (nämlich wenn eine Kongruenz E auf ihre abgebildet wird $0$-Klasse $\,0/E$stellt einen Gitterisomorphismus zwischen dem Kongruenzgitter und dem idealen Gitter her). Das erste Papier in dieser Richtung [22] trug dies in seinem Titel.
Es zeigt sich, dass - für eine Sorte V - die Bestimmung zweier unabhängiger Merkmale ideal ist:
V hat $\,\rm\color{#c00}{0\text{-regular}}\,$ Kongruenzen, nämlich für alle Kongruenzen $\rm\,E,E'$ eines Mitglieds von $V,$ von $\,\rm 0/E = 0/E'$ es folgt $\rm\,E = E'$.
V hat $\,\rm\color{#c00}{0\text{-permutable}}\,$ Kongruenzen, nämlich für alle Kongruenzen $\,\rm E,E'$ eines Mitglieds von $V,$ wenn $\,\rm 0 \ E\ y \ E'\, x,\,$ dann für einige $\rm z,\ 0\ E'\, z\ E\ x.$
Dies ist "normalerweise" nicht wahr; Zum Beispiel gilt dies nicht für Monoide oder Semiringe. Es ist eine ganz besondere Tatsache, dass dies für Gruppen und Ringe gilt, und in beiden Fällen aus demselben Grund: Das Vorhandensein von Inversen ermöglicht es Ihnen, das Denken über eine Äquivalenzbeziehung zu ersetzen$a \equiv b$ mit Nachdenken $b^{-1} a \equiv 1$ für Gruppen (normale Untergruppen) und $a - b \equiv 0$ für Ringe (Ideale produzieren).
Beachten Sie auch, dass Ideale streng genommen keine Unterobjekte in der Kategorie der Ringe (mit Identität) sind.
Dies ist im Allgemeinen falsch . Die Tatsache, dass es in Gruppen und Ringen gilt, ist darauf zurückzuführen, dass wir jeweils eine Operation mit Identität und Inversen haben, nämlich die Gruppenoperation bzw. die Ringaddition.
Solange wir eine solche Operation haben, wird jede Kongruenz tatsächlich von einer einzelnen Klasse bestimmt. Um dies zu sehen, nehmen wir an$S$ ist eine Struktur mit einer invertierbaren Operation $*$, $a\in S$, und $\sim,\approx$ sind Kongruenzen auf $S$ mit $[a]_\sim=[a]_\approx$. Fix$b\in S$;; wir wollen zeigen$[b]_\sim\subseteq[b]_\approx$ (woraus wir durch Symmetrie und universelle Verallgemeinerung erhalten $\sim=\approx$).
Annehmen $b\sim c$. Dann$b b'a\sim cb'a$, wo $x'$ bezeichnet die $*$-invers von $x$. Das heisst$a\sim cb'a$und so seit $[a]_\sim=[a]_\approx$ wir bekommen $a\approx cb'a$. Jetzt machen wir den vorherigen Schritt rückgängig: Wir multiplizieren rechts mit$a'b$ bekommen $b\approx c$ wie gewünscht.