Warum können Sie die Kontur im Integralausdruck für den Klein-Gordon-Propagator verformen, um den euklidischen Propagator zu erhalten?
Ich versuche die Verwendung der euklidischen Korrelationsfunktionen in QFT zu verstehen. Ich verfolgte die Probleme, die ich hatte, wie sie sich in dem einfachsten Beispiel manifestierten, das ich mir vorstellen konnte: dem Zweipunktpropagator für die Klein-Gordon-Gleichung. VP Nair (pdf Seiten 57-58) beginnt mit dem Feynman-Propagator für die Klein Gordon-Gleichung.
$$ G(x,y) = \lim_{\epsilon\to0^+}\int_{-\infty}^\infty dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2+i\epsilon}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}.\tag{4.13} $$
Er argumentiert dann, dass Sie die Kontur so verformen können, dass die $k_0$ Integral geht die imaginäre Achse hoch, um zu bekommen
$$ G(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})},\tag{4.17} $$
An diesem Punkt ändern Sie die Variablen, um nicht die gewünschte Beziehung zwischen den Minkowski- und den euklidischen Propagatoren zu erhalten. Nair sagt, dass "es bei dieser Verformung keine Kreuzung der Pole des Integranden gibt", und ich kann das sehen: Sie verformen die Kontur durch den oberen rechten und unteren linken Quadranten der komplexen Ebene, vermeiden Sie also die Pole. Mein Problem ist, was ist mit den viertelkreisförmigen Konturen im Unendlichen ? Sie müssen die Endpunkte fest lassen, wenn Sie die Kontur verformen, um die zu erhalten$k_0$Integral, um entlang der imaginären Linie zu gehen, müssen wir eine Kontur haben, die die Enden des Imaginären mit der realen Linie verbindet, die verschwindet. Dies kann aber sicherlich nicht sowohl in der oberen rechten als auch in der unteren linken Kontur der Fall sein, da der Integrand einen Faktor hat$\propto \exp\left(\text{Im}\{k_0\} x_0\right)$, die je nach Vorzeichen von $x_0$wird entweder bei großen positiven imaginären divergieren$k_0$ oder große negative imaginäre $k_0$?
Es gibt eine etwas andere Art, mit demselben Problem zu fahren. Nair kommt zu der Beziehung
$$ G(x,y) = G_E(x,y)|_{x^4=-ix^0,y^4=-iy^0},\tag{4.18} $$
wo der euklidische Propagator definiert ist
$$ G_E(x,y) = \int_{\mathbb{R}^4} d^4k\; \frac{1}{\sum_{j=1}^4(k_j)^2+m^2}e^{i\sum_{j=1}^4k_j(x_j-y_j)}.\tag{4.19} $$
Das Problem hier ist, dass, wenn Sie imaginäre Werte von setzen $x_4-y_4$ in das definierende Integral erhalten Sie dann eine exponentielle Divergenz in der $k_4$ Integral, so dass das Ergebnis schlecht definiert ist.
Also, was ist hier los? Vermisse ich etwas Offensichtliches oder macht Nair eine ungeheure Handbewegung? Und wenn letzteres der Fall ist, könnten Sie mich möglicherweise auf eine Behandlung der Beziehung zwischen den euklidischen und Minkowski-Korrelationsfunktionen hinweisen, die nicht ganz so mathematisch technisch ist wie das Papier von Osterwalder und Schrader ? (Das ist alles, was ich an anderer Stelle gefunden habe!) Als ich versucht habe, die Beziehung in komplizierteren und allgemeineren Fällen zu finden - zum Beispiel durch Betrachten der Partitionsfunktion, die als Pfadintegral ausgedrückt wird -, bin ich gestolpert auf mehr oder weniger das gleiche Problem, von dieser Divergenz des Exponentialfaktors, so habe ich das Gefühl, dass, wenn ich diese Ableitung des KG-Propagators sortiert bekomme, der Rest an seinen Platz fallen sollte.
Antworten
Dies ist vielleicht etwas unklar in der Art, wie Nair es geschrieben hat, aber es ist wichtig, dass Sie beide Ersetzungen vornehmen$k_0=ik_4$ und $x^0=ix^4$gleichzeitig. Dadurch bleiben die Konvergenzeigenschaften des ursprünglichen Integrals erhalten.
Beachten Sie, dass die Konvention von Nair ein zusätzliches Vorzeichen enthält, da er von zeitähnlichen zu raumähnlichen Größen wechselt, die dann in der Vektormultiplikation ein anderes Vorzeichen erhalten $k\cdot x$. Stattdessen hättest du es tun können$k_0\to ik_0$ und $x^0\to -ix^0$und lassen sie als zeitliche Größen. Wenn Sie dies auf diese Weise tun, ist es klar, dass Sie nur zuweisen$k_0$ und $x^0$gleiche aber entgegengesetzte Phasen. Anstatt voll$\pi/2$Du hättest jede Phase benutzen können $k_0\to e^{i\theta}k_0$ und $x^0\to e^{-i\theta}x^0$ und es ist klar, dass das Produkt $k_0 x^0$ ist unverändert.
Ich weiß nicht, ob Nair dies abdeckt, aber diese Hinzufügung eines Imaginärteils zur Zeitkoordinate hat physikalische Bedeutung in der Störungstheorie. Es führt eine nicht einheitliche Evolution ein, weil der Evolutionsoperator$e^{-i\hat H x^0}$ ist nicht mehr einheitlich, wenn $x^0$hat einen imaginären Teil. Mit dieser nicht einheitlichen Entwicklung können Sie das wechselwirkende Vakuum automatisch aus dem freien Vakuum herausprojizieren und so unter Verwendung der Bestandteile der freien Theorie störende Annäherungen an Größen in der wechselwirkenden Theorie aufbauen. Ich werde nicht versuchen, die Details in diese Antwort zu schreiben, aber diese Dinge werden in Peskin & Schroder Ch.4 behandelt, insbesondere auf den Seiten 86-87 und 95.
Die Antwort des Benutzers kaylimekay ist genau richtig, dass das innere Produkt $k_{\mu} x^{\mu}$muss grundsätzlich unter einer Wick-Rotation unveränderlich bleiben , vgl. zB mein Phys.SE antwortet hier , hier & hier .
Leider die Transformationsregel $x^0=ix^4$ in Lit. 1 ist gegenüber der Standard-Wick-Transformation $x^4=ix^0$vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.
Es erschwert die Sache, dass Ref. 1 verwendet die$(+,-,-,-)$Minkowski-Zeichenkonvention, vgl. meine Phys.SE Antwort hier .
Verweise:
- VP Nair QFT: Eine moderne Perspektive , 2004; Kapitel 4, S. 43-46, Gl. (4.13-19).
So wie das $G(x,y)$ ist bereit, für komplexe Zahlen verwendet zu werden $x_0,y_0$ ist die Verwendung der inversen Laplace-Transformation (anstelle der inversen Fourier-Transformation) $$ G_E(x,y) = \int_{-i\infty}^{i\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{i}{k_0^2-\textbf{k}^2-m^2}e^{-k_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$ wo der Exponententeil enthält $-k_0(x_0-y_0)$wie in Laplace-Transformation gesehen. Auf diese Weise sollte es keine bösen Abweichungen geben. Tatsächlich kann das Integral in der inversen Laplace-Transformation immer verschoben werden$\int_{\tau-i\infty}^{\tau-i\infty}.$ Es ist wahrscheinlich nur so, als würden wir den Kernel von Klein-Gordon verwenden und sehen, was wir finden können.
Es stellt sich heraus, dass das Ersetzen $k_0\leftarrow -ik_0$ in der obigen Gleichung erzeugt $$ G_E(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty} dk_0 \int_{\mathbb{R}^3}d^3\textbf{k}\; \frac{1}{k_0^2+\textbf{k}^2+m^2}e^{ik_0(x_0-y_0)+i\textbf{k}\cdot(\textbf{x}-\textbf{y})}, $$Das ist der euklidische Propagator. So fühle ich mich zumindest, wie Wick's Rotation hätte erfolgen sollen.