Warum werden Vektorfelder als Abschnitte der disjunkten Vereinigung der Tangentenräume definiert? Ist das nicht zu kompliziert?
Es ist üblich, das Tangentenbündel zu definieren $TM$als disjunkte Vereinigung aller Tangentenräume und dann Vektorfelder als Abschnitte von zu definieren\begin{align} TM=\bigsqcup_{p\in M}T_pM=\bigcup_{p\in M}T_pM\times\{p\}&\to M\\ (v,p)&\mapsto p \end{align} (Ich lese John Lees Buch, in dem Tangentenvektoren als Ableitungen eingeführt werden, so dass $T_pM\cap T_qM\neq\emptyset$.)
Warum definieren wir nicht einfach $TM=\bigcup_{p\in M}T_pM$ und sagen, dass ein Vektorfeld eine Karte ist $\omega\colon M\to TM$ mit $\omega_p\in T_pM$ für alle $p\in M$.
Ist das nicht die wesentliche Eigenschaft eines Vektorfeldes : Das wird allen zugewiesen$p\in M$ ein Element von $T_pM$?
Eine analoge Frage stellt sich für Differentialformen.
Ein Versuch, die Frage zu klären: Ich muss einen Vortrag über die Maxwell-Gleichungen in Form von Differentialformen vorbereiten und ich habe ein Publikum, das weder weiß, was eine Mannigfaltigkeit ist, noch was ein Tensor ist. Ich habe 30 Minuten für einen Crashkurs in diesem Zeug. Das bedeutet, dass ich so viele Informationen wie möglich weglassen muss, aber ich möchte, dass alles, was ich sage, korrekt ist. Eine Frage, die ich mir gestellt habe, lautet: Verpasse ich etwas, wenn ich nicht erkläre, was disjunkte Gewerkschaften und Sektionen sind, und ihnen einfach meine obige Definition gebe? Gibt es einen guten Grund, das Tangentenbündel als disjunkte Vereinigung von Tangentenräumen anstelle der gewöhnlichen Vereinigung zu definieren (abgesehen davon, dass der Begriff der Abschnitte eingeführt werden soll)? Aber das sind Fragen, die ich mir schon gestellt habe, bevor ich diesen Vortrag halten musste.
Antworten
Hier gibt es zwei Hauptprobleme.
Erstens besteht die einzige Möglichkeit für die Vereinigung, nicht unzusammenhängend zu sein und überhaupt keinen Sinn zu ergeben, darin, dass angenommen wird, dass die Tangentenräume in einer gemeinsamen universellen Menge leben, was im Allgemeinen nicht der Fall ist.
Zweitens, selbst wenn Sie die Tangentenräume in ein gemeinsames Universum einbetten, z. B. indem Sie die Mannigfaltigkeit in einen euklidischen Raum einbetten, verlieren Sie wichtige Informationen, indem Sie eine regelmäßige Vereinigung eingehen, da die Linie zwischen Tangentenvektoren und Punkten unscharf wird und Punkte in unterschiedlichen Bereichen leben Tangentenräume können identifiziert werden. Betrachten Sie beispielsweise das Tangentenbündel des in eingebetteten Kreises$\Bbb{R}^2$, wie im folgenden Bild:
Wenn Sie eine reguläre Vereinigung eingehen, erhalten Sie die Teilmenge von $\Bbb{R}^2$Bestehend aus allen Punkten in Rot als Tangentenbündel. Aber dann "vergessen" alle Punkte, die auf mehreren Linien liegen, zu welchem Tangentenraum sie gehören. Zum Beispiel der Punkt$(1,1)$ liegt auf dem Tangentenraum bei $(1,0)$ sowie der Tangentenraum bei $(0,1)$. Daher verlieren Sie die kanonische Surjektion$\bigcup_p T_pM \to M$Dies wird unter anderem verwendet, um das Tangentenbündel mit einer vielfältigen Struktur auszustatten. Katastrophe!
Um schließlich den Teil anzusprechen, in dem Sie Vektorfelder erwähnen: Es ist wichtig zu beachten, dass solche Objekte nicht nur satztheoretische Abschnitte der Karte sind $\bigcup_p T_pM \to M$;; Sie sind durchgehende oder glatte Abschnitte. Und damit dies Sinn macht, benötigen wir eine Topologie / glatte Struktur auf dem Tangentenbündel.
Annehmen $M \subset \mathbb{R}^n$ist eine Untervielfalt. Dann kann man sein Tangentenbündel als die Vereinigung aller Tangentenvektorräume definieren$T_pM$ zu $M$ an Punkten $p$. Das Problem ist, was hier als "Vereinigung" zu verstehen ist.
Angenommen, Sie definieren es als Vereinigung als Teilmengen von $\mathbb{R}^n$. Zum Beispiel wenn$M = \mathbb{R} \subset \mathbb{R}$dann ist an jedem Punkt der Tangentenraum $\mathbb{R}$, also sind alle tangentialen Teilmengen gleich dem gleichen Unterraum von $\mathbb{R}$nämlich $\mathbb{R}$und so ist ihre Vereinigung.
Nehmen wir nun an $M = \mathbb{S}^1 \subset \mathbb{R}^2$. Dann jede Vektorlinie$D$kann als Tangentenraum eines Kreispunktes angesehen werden. Also hier die übliche Vereinigung als Teilmengen von$\mathbb{R}^2$ wird die Vereinigung aller Vektorlinien von sein $\mathbb{R}^2$, welches ist $\mathbb{R}^2$.
Diese Konstruktionen sind "extrinsisch", da sie nicht nur von abhängen $M$ sondern auch auf den Umgebungsraum $\mathbb{R}^n$. Zum Beispiel, wenn man sagt$M \subset \mathbb{R}^n \simeq \mathbb{R}^n\times\{0\} \subset \mathbb{R}^m$, dann kann man ein "anderes" definieren $TM$", abhängig vom Standpunkt (auch wenn sie isomorph sind).
Wenn Sie in diesen beiden Beispielen ein zufälliges Element der Vereinigung nehmen, wissen Sie nicht, an welchem Punkt es tangential ist. Sie verlieren viel geometrischen Sinn.
Die Idee, dies zu vermeiden, besteht darin, eine disjunkte Vereinigung zu treffen, nämlich $$TM = \bigcup_{p\in M} \{p\}\times T_pM.$$Ein Element dieser Vereinigung ist von der Form$(p,v)$ mit $v \in T_pM$Daher hat jedes Element in seiner Konstruktion mehr Daten als im vorherigen Beispiel.
Für das erste Beispiel gibt diese Konstruktion $T\mathbb{R} = \bigcup_{p\in\mathbb{R}} \mathbb{R} = \mathbb{R}\times \mathbb{R}$und jeder Tangentenvektor hat die Form $(x,t)$ wo $t$ ist tangential zu $x$.
Für den Kreis gibt es $T\mathbb{S}^1 = \bigcup_{\theta \in \mathbb{S}^1} \{\theta\} \times T_{\theta}\mathbb{S}^1$, Usw.
Für eine abstrakte Mannigfaltigkeit gibt es keinen "Umgebungsraum", so dass die übliche Vereinigung der Tangentenräume nicht als Vereinigung von Teilräumen derselben festen Menge definiert werden kann. Daher wäre es eine schlechte Konstruktion gewesen, da wir sie nicht hätten erweitern können. Aber die disjunkte Vereinigung erlaubt es uns, für eine allgemeine Mannigfaltigkeit zu definieren$M$ das ist nicht in einen euklidischen Raum eingebettet, $$T_pM = \bigcup_{p\in M}\{p\}\times T_pM,$$ wo $T_pM$ ist ein intrinsischer Begriff in $M$, nur abhängig von der Differentialstruktur.
Darüber hinaus zeigt diese Konstruktion, dass sich auf dem Tangentenraum eine natürliche Struktur aus Faserbündeln befindet $TM$ (Dies ist ein allgemeineres Konzept), und diese Konstruktion ergibt automatisch eine reibungslose Funktion $\pi : TM \mapsto M$ das ist nur die Projektion $(p,v) \mapsto p$.
Wenn man ein Vektorfeld durch die Idee definieren will, dass "an jedem Punkt $p$ es hat einen Tangentenvektor zu $p$", dann kann es unter Verwendung dieser Konstruktion als kontinuierliche Karte streng definiert werden $X : M \to TM$ so dass $X(p) = (p,v_p)$. Dies ist gleichbedeutend damit, das zu sagen$X$ ist ein (kontinuierlicher) Abschnitt von $\pi$, das ist $\pi\circ X = \mathrm{id}_M$. Normalerweise muss das Vektorfeld glatt sein, was bedeutet$X$ ist glatt (ein glatter Abschnitt).
Bearbeiten: Es ist ein häufiges Problem für Geometer, wenn sie mit Nichtfachleuten sprechen müssen, um eine klare Präsentation zu halten, während das Publikum keine Ahnung von den Hauptobjekten hat, die wir verwenden, wie z. B. Verteiler, Vektorbündel usw. My Erfahrung ist folgende: Verlieren Sie keine Zeit mit übermäßig komplizierten Definitionen, wenn der geometrische Sinn wirklich wichtig ist. Sagen Sie einfach, dass eine Mannigfaltigkeit ein geometrischer Begriff ist, der die Definition von Oberflächen usw. erweitern kann. Definieren Sie Tangentenvektoren visuell. Angenommen, ein Tangentenfeld ist ein Feld von Tangentenvektoren, ohne über Bündel zu sprechen. Gleiches gilt für Covektoren. Wenn Sie über Operatoren in Bündeln sprechen müssen, sprechen Sie einfach darüber, wie sie auf Vektoren wirken. Sie werden viel Zeit gewinnen und das Publikum wird wahrscheinlich viel mehr Dinge verstehen, als wenn Sie einige übermäßig komplizierte, strenge Aussagen gemacht hätten.
Hier gibt es viele gute Antworten, die alle bestimmte Teile der Situation erläutern. Aber es gibt einen wichtigen Punkt, der nicht erwähnt wurde - bei der Definition von Tangentenräumen, die ich in meinem Buch Smooth Manifolds verwende, ist die Nullableitung ein Element von$T_pM$ für jeden $p\in M$Wenn Sie also bei der Definition des Tangentenbündels keine disjunkte Vereinigung verwenden, schneiden sich alle Tangentenräume. Siehe auch diese Antwort .
Dies ist nur das Umschreiben dessen, was ein paar Mal geschrieben wurde, aber wann $M\subset \Bbb R^N$, dann $$TM = \{(x,v): x\in M, v\in T_xM\}\subset M\times\Bbb R^N.$$Da ist dein Universum. Für eine abstrakte Mannigfaltigkeit macht dies natürlich keinen Sinn, weil es keinen vernünftigen Ersatz gibt$\Bbb R^N$.
Hier ist eine Erklärung, die in die für Ihren Crashkurs vorgesehene Zeit passt:
Physiker werden manchmal sagen, dass zwei Vektoren gleich sind, wenn sie in die gleiche Richtung zeigen und den gleichen Basispunkt haben.
Da die Abstraktion, die Mathematiker für Vektoren übernommen haben, den Basispunkt nicht enthält, "$\times \{p\}$"So kennzeichnen sie jeden Vektor mit seinem Basispunkt. Übrigens würden Computerprogrammierer dies wahrscheinlich auch so tun.