Was bedeutet das Hinzufügen von zwei Zufallsvariablen?

Question

In meiner Aufgabe stieß ich auf eine Frage, die mich fragte, ob $X+Y$ ist unabhängig von $Z$ wenn $X, Y, Z$sind drei Zufallsvariablen, die paarweise unabhängig sind. Ich löste das Problem, indem ich wiederholte, was die Übung nach dem Unterricht tat (Vergleichen von Wahrscheinlichkeiten und Dingen). Aber ich verstehe die geometrischen Implikationen des Hinzufügens von zwei Zufallsvariablen nicht$X+Y$ zusammen.

Im Bereich der reellen Zahl ist das Hinzufügen von zwei Zahlen einfach ein Manöver über die reelle Zahlenlinie. Diese Idee macht jedoch im Zusammenhang mit dem Hinzufügen von Zufallsvariablen keinen Sinn.

Answer 1

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Denken Sie an die intuitive Idee einer Zufallsvariablen: Sie wählt einfach eine reelle Zahl $r$ nach einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Betrachten Sie die Zufallsvariable $X$ das nimmt Werte in $\{1,\ldots,6\}$ basierend auf dem Würfeln.

Betrachten Sie auch die Zufallsvariable $Y$ das nimmt Werte in $\{0,1\}$ basierend auf dem Münzwurf.

Dann können wir die zufällige Variable betrachten $X+Y$, die Werte in nimmt $\{1,\ldots,7\}$abhängig sowohl vom Würfelwurf als auch vom Münzwurf.

Ich bin mir nicht sicher, ob es "geometrische Implikationen" gibt (es sei denn, Ihre Zufallsvariablen sind geometrischer Natur). Hier ist ein Beispiel:

Zum Beispiel könnten Sie sich Zufallsvariablen vorstellen $X$ und $Y$ dass jeder eine Zufallszahl im Intervall auswählt $[0,1]$. Dann die Zufallsvariable$\frac{X + Y}{2}$ hat eine gewisse geometrische Bedeutung: Es ist der Mittelpunkt der beiden Punkte, die Sie zufällig ausgewählt haben.

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Ich hoffe das hilft ^ _ ^