Was bedeutet dieser koboundäre Homomorphismus für die Gruppenhyperkohomologie?
$\require{AMScd}$ Lassen $\Gamma=\{1,\gamma\}$ sei eine Gruppe der Ordnung 2. In meinem Problem aus der Galois-Kohomologie realer reduktiver Gruppen kam ich zu einem kommutativen Diagramm von $\Gamma$-Module (abelsche Gruppen mit $\Gamma$-Aktion) \ begin {Gleichung *}% \ label {e: cd} \ begin {CD} 1 @ >>> Q_1 @ >>> Q_2 @ >>> Q_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ rho_1} V @VV {\ rho_2} V @VV {\ rho_3} V \\ 1 @ >>> X_1 @ >>> X_2 @ >>> X_3 @ >>> 1 \\ @. @VV {\ alpha_1} V @VV {\ alpha_2} V @ VV {\ alpha_3} V \\ 1 @ >>> P_1 @ >>> P_2 @ >>> P_3 @ >>> 1 \\ \ end {CD } \ end {Gleichung *}, in der die Zeilen genau sind, aber nicht die Spalten (und$\alpha_k\circ\rho_k\neq 0$). Die oberen und unteren Zeilen des Diagramms werden kanonisch aufgeteilt:$$Q_2=Q_1\oplus Q_3\quad\text{ and }\quad P_2=P_1\oplus P_3,$$ und diese Aufteilungen sind kompatibel: $$ \alpha_2(\rho_2(0,q_3))= \big(\,0,\,\alpha_3(\rho_3(q_3))\,\big)\tag{$* *$} $$ zum $q_3\in Q_3$. Ich betrachte die Tate- Hyperkohomologiegruppen$${\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)\quad\text{ and } \quad{\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1),$$ wo beide kurzen Komplexe in Grad sind $(-1,0)$.
Unten konstruiere ich "von Hand" einen kanonischen Coboundary Homomorphism $$\delta\colon\, {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\to X _3)\,\longrightarrow\, {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1),$$
Frage. Wie kann ich diesen koboundären Homomorphismus aus einer Art allgemeiner Theorie erhalten?
Anmerkung. Für eine Gruppe$\Gamma$der Ordnung 2 (und auch für jede cyclische Gruppe$\Gamma$) Die Tate-Kohomologie und Hyperkohomologie sind periodisch mit Periode 2. Daher ist unsere $\delta$ ist eine Karte $${\Bbb H}^1(\Gamma,\, Q_3\to X_3\to 0)\, \longrightarrow \, {\Bbb H}^2(\Gamma,\, 0\to X_1\to P_1),$$ wo beide Komplexe in Grad sind $(-2,-1,0)$.
Konstruktion. Wir beginnen mit$[ q_3, x_3]\in {\Bbb H}^0(\Gamma, Q_3\overset{\rho_3}\longrightarrow X _3)$. Hier$( q_3, x_3)\in Z^0(\Gamma,Q_3\to X _3)$das heißt, \ begin {Gleichung} q_3 \ in Q_3, \ quad x_3 \ in X_3, \ quad \, ^ {\ gamma \ kern -0,8pt} q_3 + q_3 = 0, \ qquad \, ^ {\ gamma \ kern -0,8pt} x_3- x_3 = \ rho_3 (q_3). \ Tag {$**$} \ end {Gleichung} Wir heben kanonisch $ q_3$ zu $$ q_2=(0, q_3)\in Q_1\oplus Q_3= Q_2,$$ und wir heben $ x_3$zu einigen $ x_2\in X _2$. Wir schreiben$$\alpha_2( x_2)=( p_1, p_3)\in P_1\oplus P_3=P_2,$$ wo $ p_3=\alpha_3( x_3)\in P_3$ und $ p_1\in P_1$. Legen wir fest$$ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2-\rho_2( q_2).$$ Da von $(*)$ wir haben $$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_3- x_3=\rho_3( q_3),$$ wir sehen das $ x_1\in X _1$. Wir berechnen:$$\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_1+ x_1=\,^{\gamma\kern -0.8pt}(\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-{}^{\gamma\kern -0.8pt}\rho_2(0, q_3)+ (\,^{\gamma\kern -0.8pt} x_2- x_2)-\rho_2(0, q_2)=-\rho_2(0,\,^{\gamma\kern -0.8pt} q_3+ q_3)=0$$ durch $(**)$. Außerdem,\begin{align*} \alpha_1( x_1)&=\,^{\gamma\kern -0.8pt}\alpha_2(x_2)-\alpha_2(x_2)-\alpha_2(\rho_2(q_2))\\ &=\,^{\gamma\kern -0.8pt}( p_1, p_3)-( p_1, p_3)-( 0,\alpha_3(\rho_3( q_3)))\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_3-p_3-\alpha_3(\rho_3(q_3))\big)\\ &=\big(\,^{\gamma\kern -0.8pt}p_1-p_1,\,\alpha_3(\,^{\gamma\kern -0.8pt}x_3-x_3-\rho_3(q_3))\big)\\ &=(\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1- p_1,0) \end{align*} durch $(*)$ und $(**)$. So$$\alpha_1(x_1)=\,^{\gamma\kern -0.8pt} p_1-p_1.$$ Wir sehen das $(x_1, p_1)\in Z^0(\Gamma, X _1\overset{\alpha_1}\longrightarrow P_1)$. Legen wir fest$$\delta[ q_3, x_3]=[ x_1, p_1]\in {\Bbb H}^0(\Gamma,X _1\to P_1).$$ Eine einfache Überprüfung zeigt, dass die Karte $\delta$ ist ein gut definierter Homomorphismus.
Antworten
Ich glaube, der einfachste Weg, damit umzugehen, ist der Formalismus triangulierter Kategorien. Sie können dies auf verschiedene Arten tun: entweder mit der unbegrenzten abgeleiteten Kategorie arbeiten oder (wahrscheinlich einfacher) jedes Modul ersetzen$M$ mit $\operatorname{Hom}_\Gamma(\mathcal R,M)$ wo $\mathcal R$ ist die vollständige Auflösung für $\Gamma$dh der standardmäßige unbegrenzte 2-periodische Komplex $$\cdots\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1-\gamma}\mathbb Z[\Gamma]\xrightarrow{1+\gamma}\cdots$$von $\Gamma$-Module.
Dann lass es $X_1\to X_2\to X_3\to\Sigma X_1$ sei ein genaues Dreieck in einer beliebigen triangulierten Kategorie und lass $Q_3\to X_2\to P_1$beliebige Morphismen mit Null zusammengesetzt sein. Lassen$P$ sei die Faser von $X_1\to P_1$ und lass $Q$ sei die Cofaser von $Q_3\to X_3$. Unser Ziel ist es, aus all dem eine kanonische Karte zu konstruieren$Q\to\Sigma P$. Es stellt sich heraus, dass es eine solche Karte gibt, die darüber hinaus genau dann ein Isomorphismus ist, wenn$Q_3\to X_2\to P_1$ ist genau.
Da der Verbund $Q_3\to X_2\to P_1$ ist Null, die Karte $X_2\to P_1$ Faktoren durch Cofaser von $Q_3\to X_2$, $X_2\to Q_0$und die Karte $Q_3\to X_2$ Faktoren durch die Faser $P_0\to X_2$ von $X_2\to P_1$. Also alles in allem$X_1\to P_1$ Faktoren in den Verbund $X_1\to X_2\to Q_0\to P_1$während $Q_3\to X_3$ Faktoren in den Verbund $Q_3\to P_0\to X_2\to X_3$.
Beachten Sie zunächst, dass unter diesen Umständen die Cofaser von $Q_3\to P_0$ ist isomorph zur Faser von $Q_0\to P_1$;; bezeichnet es mit$H$, der Verbund $P_0\to H\to Q_0$ ist das Komposit $P_0\to X_2\to Q_0$.
Wir erhalten acht Instanzen des Oktaeder-Axioms, die uns dies für verschiedene Komposite erklären $f\circ g$ Es gibt genaue Dreiecke $\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)\to\operatorname{cofibre}(f\circ g)\to\operatorname{cofibre}(f)=\Sigma\operatorname{fibre}(f)$ und $\operatorname{fibre}(g)\to\operatorname{fibre}(f\circ g)\to\operatorname{fibre}(f)\to\operatorname{cofibre}(g)=\Sigma\operatorname{fibre}(g)$. Genau genommen werden nicht alle benötigt, aber der Vollständigkeit halber möchte ich sie alle auflisten.
Das zusammensetzbare Paar | gibt das genaue Dreieck an |
---|---|
$Q_3\to P_0\to X_2$ | $H\to Q_0\to P_1\to\Sigma H$ |
$Q_3\to X_2\to X_3$ | $X_1\to Q_0\to Q\to \Sigma X_1$ |
$Q_3\to P_0\to X_3$ | $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$ |
$P_0\to X_2\to X_3$ | $P\to X_1\to P_1\to\Sigma P$ |
$X_1\to X_2\to Q_0$ | $Q_3\to X_3\to Q\to\Sigma Q_3$ |
$X_1\to X_2\to P_1$ | $P\to P_0\to X_3\to\Sigma P$ |
$X_1\to Q_0\to P_1$ | $\color{red}{P\to H\to Q\to\Sigma P}$ |
$X_2\to Q_0\to P_1$ | $Q_3\to P_0\to H\to\Sigma Q_3$ |
Um alles in einem einzigen Diagramm zusammenzufassen: Im Folgenden stellen Linien mit drei Objekten exakte Dreiecke dar. alles pendelt.
