Was bedeutet es, die Koeffizienten gleicher Terme beim Auflösen nach A und B in Teilbrüchen gleichzusetzen?
Ich versuche, mich durch das Lösen von Teilbrüchen in einem Buch der 10. Klasse von Cambridge zu bewegen. Dies ist ein Konzept, das sie frühzeitig für Schüler einführen, die sich selbst herausfordern möchten, und es ist ziemlich leicht in der Erklärung.
Zum Beispiel: 7 / (x + 2) (2x-3) = A / 2x-3 + B / x + 2. Ich verstehe, wie man das bis zu dem Punkt macht, an dem ich 7 = x (A + 2B) + 2A - 3B erreiche. Von dort habe ich gelesen, dass ich etwas tun muss, das als "Gleichsetzen von Koeffizienten" bezeichnet wird. Die Koeffizienten in der Nähe der gleichen Terme sollten gleich sein, damit das folgende System erhalten wird: A + 2B = 0 2A - 3B = 7.
Aber ich verstehe nicht, WARUM oder wie es gültig ist, dass wir diese Teile der Gleichung auf diese Werte setzen. Warum nicht zum Beispiel A + 2B = 7 2A - 3B = 0? Ich habe versucht, auf YouTube zu schauen und Freunde zu fragen, aber ich kann mich anscheinend nicht darum kümmern.
Ich kann es schaffen und mit dieser Methode nach A und B lösen. Aber ich habe wirklich Schwierigkeiten zu verstehen, was ich zu diesem Zeitpunkt im Prozess tue. Der Satz, der immer wieder auftaucht, wenn ich mir das anschaue, lautet "Wir können die Koeffizienten gleicher Begriffe gleichsetzen". Auf der Wikipedia-Seite zur Bruchzerlegung heißt es beispielsweise "Gleichsetzen der Koeffizienten von x und der konstanten (in Bezug auf x) Koeffizienten beider Seiten dieser Gleichung ...". Zweites Beispiel: Auf der Emathhelp-Seite steht "Die Koeffizienten in der Nähe der gleichen Terme sollten gleich sein, damit das folgende System erhalten wird:", wenn ich die Gleichung 7 / (x + 2) (2x-3) eingebe .
Antworten
Ich denke, Sie sind ein wenig verwirrt über die Schritte in diesem Problem. Beachten Sie, dass Sie in diesem Fall versuchen müssen, die resultierende Gleichung zu lösen, nachdem Sie beide Seiten mit dem Nenner multipliziert haben$$7 = x(A+2B) + 2A - 3B.$$ Gleiche Begriffe sind die Koeffizienten identischer Potenzen von$x$. Beachten Sie das$7 = 0x + 7$. Kannst du jetzt die Ähnlichkeit sehen? Hätten$(A+2B)$war alles andere als $0$Sie hätten eine Nicht-Null $ax$Term auf der linken Seite der obigen Gleichung. Die gleiche Logik gilt für$(2A-3B)$.
Also wirklich am Ende mit $$A+2B = 0 \\ 2A - 3B = 7$$ was, wenn es gleichzeitig gelöst wird, ergibt $A= 2$, $B = -1$.
Angenommen, Sie haben mit gearbeitet
$$ax+b=3x+2.$$
Wir meinen, dass dies für jeden gilt $x$. So könnten wir insbesondere schreiben
$$x=0\to b=2,\\x=1\to a+b=5,\\ x=-1\to -a+b=-1,\\ x=2\to 2a+b=8,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x=5000\to 5000a+b=1502,\\\cdots$$
Dies ist ein System aus zwei Unbekannten und unendlich vielen Gleichungen. Es stellt sich jedoch heraus, dass, wenn Sie nach einer minimalen Anzahl von Gleichungen lösen (mit den ersten beiden,$a=3, b=2$) gilt die Lösung für alle Gleichungen, da die symbolischen Ausdrücke vollständig äquivalent sind.
Gleiches gilt für rationale Brüche oder jede Art von Identifikation.