Was ist der maximal mögliche Wert von $E[X_1 X_2 X_3]$?

Question

Annehmen $X_1,X_2,X_3$ sind diskrete Zufallsvariablen, die in einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind $\Omega$ und Werte aufnehmen $\{-1,1\}$. Nehmen wir weiter an, dass$E[X_1]=E[X_2]=E[X_3]=E[X_1 X_2]=E[X_2 X_3]=E[X_3 X_1]=0$. In Anbetracht dessen, was ist der maximal mögliche Wert von$E[X_1 X_2 X_3]$?

Das ist leicht zu sehen $P(X_i=\pm 1)=P(X_i X_j = \pm 1)={1 \over 2}$ für jede $i,j \in I_3 (i \neq j)$. Aber wie komme ich weiter voran? Jede Hilfe wäre dankbar.

Answer 1

Lassen $a=E[X_1 X_2 X_3]$

Natürlich haben wir $-1 \le a \le 1$

Nach dieser Parametrisierung können wir die gemeinsame Wahrscheinlichkeit als schreiben

$$P(x_1,x_2,x_3)=\frac18( a \, x_1 x_2 x_3 +1)$$ das gibt zusätzliche Einschränkungen $$0\le P(x_1,x_2,x_3)\le 1$$ oder $0\le \frac18 (1-a) \le 1$ und $0\le \frac18 (1+a) \le 1$

Dies wird jedoch vom ursprünglichen Kandidaten für das Maximum überprüft ($a=1$)

Daher ist das Maximum $E[X_1 X_2 X_3]=1$ was erreicht wird durch

$$P(x_1,x_2,x_3) = \frac18( x_1 x_2 x_3 +1)= \begin{cases} \frac14 & \text{if } x_1 x_2 x_3 = 1 \\ 0 &\text{if } x_1 x_2 x_3 = -1 \end{cases}$$

Answer 2

Es gebe jeweils vier Zustände mit Wahrscheinlichkeit $1 \over 4$:: $(X_1,X_2,X_3)\in \{(1,-1,-1),(1,1,1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)\}$.

Sie können überprüfen, ob die Bedingungen gelten. Jedoch,

$$E(X_1X_2X_3)=1,$$

Dies ist eindeutig der höchste Wert, den dieser Ausdruck annehmen kann.