Was ist die Bedingung für eine Gruppe $G$ gleich dem Produkt zweier normaler Untergruppen sein

Dec 23 2020

Wenn $G$ ist eine Gruppe und $N,M$sind zwei normale Untergruppen. Wir wissen, dass das Produkt$NM$ ist normale Untergruppe von $G$, aber wann kann ich das sagen $G=NM$. Was müssen die Bedingungen sein$N,M$?

Antworten

2 NickyHekster Dec 23 2020 at 17:40

Angenommen, alle in diesen Beispielen genannten Gruppen sind endlich.
Ein Beispiel: wenn$|G:M|$ und $|G:N|$sind coprime , dann$G=NM$. Beweis:$|G:NM| \mid |G:M|$ und $|G:NM| \mid |G:N|$.
Ein weiteres Beispiel: wenn$|M|$ und $|N|$sind Koprime und$|G|=|N| \cdot |M|$, dann $G=NM$.
Noch ein Beispiel: wenn$M$ist eine maximale Untergruppe und$N \not \subseteq M$, dann $G=NM$.

Wenn Sie mit der (gewöhnlichen) Charaktertheorie endlicher Gruppen vertraut sind : if$\varphi$ ist ein Charakter von $M$ und die Induktionsbeschränkung $(\varphi^G)_N$ ist also nicht reduzierbar $G=NM$.

1 DietrichBurde Dec 23 2020 at 18:02

Es gibt eine allgemeinere Frage, die intensiv untersucht wurde, nämlich wann wir das sagen können $G=AB$ für Untergruppen $A,B$? Solche Gruppen$G$werden faktorisierbar genannt und es gibt eine große Literatur über sie.

Es gibt zum Beispiel einige triviale Bedingungen $AB$ ist eine Untergruppe von $G$ dann und nur dann, wenn $AB=BA$, sehen

Lassen $A,B$ Untergruppen einer Gruppe sein $G$. Beweisen$AB$ ist eine Untergruppe von $G$ dann und nur dann, wenn $AB=BA$

Referenzen zu faktorisierbaren Gruppen: zum Beispiel Arad und viele Artikel von Amberg, B. Franciosi, S. und Degiovanni und andere, auch Arbeiten von Gorenstein, Herstein .

Weitere Referenzen finden Sie auch in diesem MO-Beitrag .