Was ist die Lösung von $x^3+x=1$? [geschlossen]

Nov 21 2020

Laut Wolfram | Alpha ist die Lösung von $x^3+x=1$ ist ungefähr $0.68233$oder genau diese Monstrosität :

$x_0=\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2}(9+\sqrt{93})}}{3^{\frac{2}{3}}}-\sqrt[3]{\frac{2}{3(9+\sqrt{93})}}$

$x^3+x=1$ist so einfach, dass ich nicht glauben will, dass dieses hässliche Konstrukt der einfachste Weg ist. Habe ich recht?

Antworten

4 WillJagy Nov 21 2020 at 21:56

$$ \left( \frac{1}{2} \left( 1 + \sqrt{\frac{31}{27}} \right) \right)^{1/3} + \left( \frac{1}{2} \left( 1 - \sqrt{\frac{31}{27}} \right) \right)^{1/3} $$

2 Quanto Nov 22 2020 at 01:20

Alternative $$x=\frac2{\sqrt3}\sinh\left( \frac13\sinh^{-1}\frac{3\sqrt3}2\right)$$ das kann weniger monströs sein.

1 Angel Nov 22 2020 at 06:48

Sie können x ^ 3 + x = 1 als x ^ 3 = 1 - x neu anordnen und x = u + v lassen. Beachten Sie, dass nach dem Binomialsatz (u + v) ^ 3 = u ^ 3 + 3vu ^ 2 + 3uv ^ 2 + v ^ 3 = u ^ 3 + v ^ 3 + 3uv (u + v), was darauf hindeutet, dass u ^ 3 + v ^ 3 = 1 ist, während -1 = 3uv. -1 = 3uv impliziert v = -1 / (3u), also ist u ^ 3 - 1 / (27u ^ 3) = 1, was 27u ^ 6 - 1 = 27u ^ 3 impliziert. Sie können dies als 27 (u ^ 3) ^ 2 - 27u ^ 3 - 1 = 0 neu anordnen. Dies ist ein Quadrat in Bezug auf u ^ 3, sodass Sie die quadratische Formel verwenden können, um zu schließen, dass u ^ 3 = [27 + sqrt (93)] / 54 oder u ^ 3 = [27 - sqrt (93)] / 54, obwohl es wirklich keine Rolle spielt, da v ^ 3 immer das Konjugat von u ^ 3 sein wird. Daher ist x = u + v = cbrt ([27 + ​​sqrt (93)] / 54) + cbrt ([27 + ​​sqrt (93)] / 54). Dies entspricht letztendlich dem, was veröffentlicht wurde. Es sind lediglich einige algebraische Manipulationen erforderlich, um dorthin zu gelangen. Und ja, dies ist der einfachste Weg, die Antwort zu schreiben. Es ist was es ist. Leider haben einfache Probleme nicht immer einfache Lösungen. Und die Gesetze der Logik kümmern sich sowieso nicht um unser mickriges Konzept der Einfachheit.

1 Jimbo Nov 21 2020 at 23:35

Wenn man neu arrangiert $x^{3}+x= 1$ wie

$x^{2} + 1 = \frac1x$

dann zeigt die beigefügte Abbildung einen alternativen Ansatz, um die (reale) Lösung iterativ zu erhalten, beginnend mit einer Wurzelnäherung (z $x_0=0.5$ in der Abbildung), Berechnung $x_0^{2} + 1$ um die erste Iteration zu erhalten $x_1=\frac{1}{x_0^{2}+1}$und so weiter. Im Vergleich zu den unvermeidlichen Möglichkeiten, die genaue Lösung auszudrücken, sieht die iterative Konvergenzgleichung für 0,68233 (5 dp) recht einfach aus:

$x_{n+1} = \frac{1}{x_n^{2}+1}$

Dies ist die Symmetrie der Kurven (ich habe nur den Quadranten mit der reellen Wurzel gezeigt), es gibt keine Einschränkung für die Wahl des anfänglichen reellen Wertes $x_0$ Konvergenz zu erreichen.