Was sagt eine symmetrische Matrix funktional über die lineare Transformation aus, die sie darstellt?

Question

Ich verstehe die Definition einer symmetrischen Matrix in Bezug darauf, wie ihre Komponenten zusammenhängen. Aber was bedeutet es funktional für die lineare Transformation, die es darstellt? Zum Beispiel haben Block-Tridiagonal-Matrizen spezielle Beziehungen zwischen Einträgen, aber sie sagen uns auch funktional, dass ein nicht-trivialer Vektor-Unterraum unter der linearen Transformation in Bezug auf eine bestimmte Basis invariant ist. Was stellen übrigens schiefsymmetrische Matrizen funktional dar?

Answer 1

In den Kommentaren (und in der verknüpften Diskussion) zu der Frage mache ich folgenden Anspruch geltend:

$M$ ist relativ zu mindestens einer Wahl der (möglicherweise schrägen) Basis genau dann symmetrisch, wenn $M$ ist mit reellen Eigenwerten diagonalisierbar. $M$ ist relativ zu mindestens einer Basiswahl genau dann schiefsymmetrisch, wenn $M$ ist eine direkte Summe von skalierten $90^\circ $ Rotationen und Nulltransformationen.

Erstens der symmetrische Fall. Wenn$M$ ist symmetrisch, dann besagt der Spektralsatz, dass $M$ist mit reellen Eigenwerten diagonalisierbar. Umgekehrt, wenn$M$ Ist mit reellen Eigenwerten diagonalisierbar, so gibt es eine Basis, auf die sich die Matrix von bezieht $M$ist diagonal mit echten diagonalen Einträgen. Da diese diagonale Matrix symmetrisch ist,$M$ ist relativ zu dieser Wahl der Basis symmetrisch.

Für den Fall, wo $M$Ist schiefsymmetrisch, gibt es zwei gängige Ansätze. Für die einfache Richtung: wenn$M$ ist eine direkte Summe von $90^\circ$ Rotationen und Nulltransformationen, dann gibt es eine Basis, auf die sich die Matrix von bezieht $M$ ist die blockdiagonale schrägsymmetrische Matrix $$ \pmatrix{0 & \kappa_1 \\-\kappa_1 & 0 \\ && \ddots \\ &&& 0 & \kappa_p\\ &&&-\kappa_p & 0 \\ &&&&&0 \\ &&&&&&\ddots\\ &&&&&&& 0}. $$Für das Gegenteil gibt es zwei Ansätze. Eine besteht im Wesentlichen darin, den Spektralsatz für hermitische Matrizen anzuwenden , wobei zu beachten ist, dass wenn$M$ Ist dann die komplexe Matrix schiefsymmetrisch $iM$ist Hermitianer. Alternativ können wir systematisch eine Basis konstruieren, relativ zu der die Matrix von$M$hat die obige blockdiagonale Form, wie in diesem Beitrag beschrieben, und den darin verknüpften Beweis.