Wenn $fg$ ist kontinuierlich bei $a$ dann $g$ ist kontinuierlich bei $a$.

Question

Nehme an, dass $f$ und $g$ werden in einem offenen Intervall definiert und endlich bewertet $I$ was beinhaltet $a$, Das $f$ ist kontinuierlich bei $a$, und das $f(a) \neq 0$. Wenn$fg$ ist kontinuierlich bei $a$ dann $g$ ist kontinuierlich bei $a$.

$\underline{Attempt}$

Schon seit $f$ ist bei $a$ und $fg$ kontinuierlich bei $a$,

$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a) \text{ and } \lim_{x\to a}f(x)g(x)=f(a)g(a)$$

so

$$\lim_{x\to a} {f(x)g(x)} = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a}g(x)=f(a)\lim_{x\to a}g(x)=f(a)g(a)$$

schon seit $f(a) \neq0$

$$\lim_{x\to a}g(x)=g(a)$$

$\therefore g$ ist kontinuierlich bei $a$

Answer 1

Ihr Beweis ist nicht korrekt. Sie nehmen die Existenz von an$\lim_{ x \to a} g(x)$aber Sie müssen die Existenz dieser Grenze beweisen. Schreiben$g(x)$ wie $\frac 1 {f{(x)}} {g(x)f(x)}$ das beobachten $f(x) \neq 0$ wenn $|x-a| $ist klein genug. Jetzt können Sie sehen, dass das Limit existiert und gleich ist$\frac {f(a)g(a)} {f(a)}=g(a)$.

[Es gibt $\delta >0$ so dass $|x-a| <\delta$ impliziert $|f(x)-f(a)| <\frac {|f(a)|} 2$. So$|x-a| <\delta$ impliziert $|f(x)| >|f(a)| -\frac {|f(a)|} 2=\frac {|f(a)|} 2>0$ und so $f(x) \neq 0$].