wenn$\int\limits_a^bf(x)dx=0$für alle rationalen Zahlen$a<b$, dann$f(x)=0$ae [duplizieren]
Lassen$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$eine integrierbare Funktion sein.
Zeigen Sie, dass wenn$\int\limits_a^bf(x)dx=0$für alle rationalen Zahlen$a<b$, dann$f(x)=0$alle fast überall.
Hinweis: Erst beweisen$\int\limits_Af=0$zum$A$eine offene Menge, dann für$A$messbar.
Mein Versuch: Let$A$ein offener Satz hinein$\mathbb{R}$. Dann können wir schreiben$A=\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)$wo$\left\{(a_k,b_k)\right\}_{k=1}^{\infty}$ist eine disjunkte Sammlung offener Intervalle mit rationalen Endpunkten (Ist das möglich?)
So$\int\limits_Afdx=\int\limits_{\bigcup\limits_{k}(a_k,b_k)}fdx=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\int\limits_{a_k}^{b_k}fdx=0$
Wie soll ich dann das Ergebnis für messbar verwenden$A$und darüber hinaus tut es danach$\int\limits_{\mathbb{R}}f=0$impliziert$f=0$äh?
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Ich denke, es ist einfach. Lassen$A=\{x:f(x)\not=0\}$ $B=\{x:f(x)=0\}$
$\mu (D)$ist das Mengenmaß$D$. Wir wissen$\mu (A)=0$und$\mu (B)=b-a$. Lebesgue-Integral:$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{A} f(x)d\mu+\int_{B} f(x)d\mu=0$Da$\int_{A} f(x)d\mu=0$( Weil$f(x)=0$fast überall) und$\int_{B} f(x)d\mu=0$
Sie können einen klassischen Trick anwenden, um die Sammlung zu definieren
$$ \mathcal{E}:=\{ A\in \mathcal{B}_\mathbb{R}: \int_A fdx=0 \}, $$
und das dann zeigen$\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$. Seit$f$messbar ist, wird das endgültige gewünschte Ergebnis sonst folgen$\pm \int_{B_\pm} fdx>0$wo$B_\pm=\{x\in\mathbb{R}: \pm f(x)>0\}$.
Sie können das später überprüfen$\mathcal{E}$ist ein$\sigma$-Algebra, also wenn du das zeigst$A\in \mathcal{E}$für jede offene Menge$A$, dann wird es folgen$\mathcal{E}=\mathcal{B}_\mathbb{R}$.
Schließlich liegt seit den Intervallen mit rationalen Endpunkten eine abzählbare Basis der Topologie vor$\mathbb{R}$, für alle offenen$A\subseteq \mathbb{R}$es gibt eine Sammlung von Intervallen mit rationalen Endpunkten,$\{ (a_k,b_k) \}_{k=1}^\infty$so dass$A=\cup (a_k,b_k)$. Mit dem DCT erhalten Sie das$\int_A f =0$.