Wenn $p$ ist eine ungerade Primzahl mit $p ≡ 3(\mod 4)$, dann $(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}$
Beweisen Sie, ob es wahr ist. Geben Sie ein Gegenbeispiel, wenn es falsch ist. Wenn$p$ ist eine ungerade Primzahl mit $p ≡ 3(\mod 4)$, dann $$(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}.$$
Beweis. $p ≡ 3(\mod 4)$ impliziert $4|p-3$. Wilsons Satz sagt: Wenn p Primzahl ist, dann$$(p-1)! + p\mathbb{Z} = -1 + p\mathbb{Z}$$ oder gleichwertig $$(p-1)! ≡ -1(\mod p).$$ Letzteres impliziert $$p|(p-1)!+1.$$
Ich bin mir nicht sicher, wohin ich von dort aus gehen soll oder ob das überhaupt der richtige Ansatz ist.
Antworten
Aus Wilsons Satz wissen wir das $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$,
Daher reicht es aus, dies zu beweisen $$(-1)^{\frac{p-1}2}=-1$$
das ist gleichbedeutend damit, das zu beweisen $\frac{p-1}2$ ist eine ungerade Zahl
Wenn $p = 4k+3$, dann $$\frac{p-1}{2}=\frac{4k+2}{2}=2k+1$$ Das ist eine ungerade Zahl.