Werte von $a$ so dass $x^5-x-a$ hat quadratischen Faktor
Ich möchte alle ganzen Zahlen finden $a$ so dass $x^5-x-a$ hat einen quadratischen Faktor in $\mathbb{Z}[x]$.
Mein Versuch
Lassen $x^5-x-a=(x^2+bx+c)(x^3+dx^2+ex+f)$, so dass wir folgendes haben:
$$\begin{array}{rcl} b+d&=&0\\ e+bd+c&=&0\\ f+be+cd&=&0\\ bf+ce&=&-1\\ cf&=&-a \end{array}$$
Daher:
$$\begin{array}{rcccl} d&=&-b\\ e&=&-bd-c&=&b^2-c\\ f&=&-be-cd&=&-b^3+2bc \end{array}$$
und wir haben:
$$1=-bf-ce=b^4-3b^2c+c^2,$$
damit:
$$(2c-3b^2)^2=5b^4+4.$$
Frage
Wie finde ich alle Werte von $n$ so dass $5n^4+4$ ist ein perfektes Quadrat?
Mein Versuch
Wenn $m^2=5n^4+4$, dann $m^2-5n^4=4$.
Wenn $m=2m_*$, dann $n$ ist gerade, so dass $n=2n_*$und wir haben die Gleichung $m_*^2-20n_*^4=1$. Nach Pell-Gleichung, da$(a,b)=(9,2)$ ist die am wenigsten nicht triviale Lösung von $a^2-20b^2=1$dann hat die allgemeine Lösung die Form $(a_n,b_n)$ wo $a_n+b_n\sqrt{20}=(9+2\sqrt{20})^n$, aber ich weiß nicht, wie ich herausfinden soll, von welchen Werten $n$ machen $b_n$ ein Quadrat.
Antworten
Kurzfassung: in $w^2 - 5 v^2 = 4,$ die Zahlen $v$ sind Fibonacci-Zahlen, von denen das größte perfekte Quadrat ist $144$
Wie Sie sehen können, sind meine "v" -Nummern alternative Fibonacci-Zahlen, während "w" Lucas sind. Ich werde versuchen, eine Referenz zu finden. Es ist bekannt, dass die größte quadratische Fibonacci-Zahl 144 ist. Ihre größte$n$ ist deshalb $12,$ wo dein $m=322$
COHN 1963
Umm. Hier ist ein Conway-Topograph für die quadratische Form$x^2 - 5 y^2.$ Dies ist ein Beweis dafür, dass alle Lösungen von $x^2 - 5 y^2 = 4$ werden durch Anfangspaare erzeugt $$ (2,0) , (3,1) , ( 7,3), (18,8), (47,21), 123,55), (322,144), (843, 377) $$ mit Rekursionen $$ x_{n+6} = 18 x_{n+3} - x_n $$ $$ y_{n+6} = 18 y_{n+3} - y_n $$
Diese sind von Cayley-Hamilton für $$ \left( \begin{array}{cc} 9&20 \\ 4&9 \end{array} \right) $$
Ein bisschen mehr Arbeit zeigt, dass wir interpolieren können, was bedeutet $$ x_{n+2} = 3 x_{n+1} - x_n $$ $$ y_{n+2} = 3 y_{n+1} - y_n $$
Mal sehen, die Irrationalen in der Binet-Beschreibung alternativer Fibonacci-Zahlen sind $$ \frac{3 \pm \sqrt 5}{2}, $$ während $$ \left(\frac{3 \pm \sqrt 5}{2} \right)^3 = 9 \pm 4 \sqrt 5 $$ wo $9 \pm 4 \sqrt 5$ sind die Binet-Nummern von $\lambda^2 - 18 \lambda + 1 =0$
Quellen zu Conways Topograph
http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/conwaysens.pdf (Conway)
https://www.math.cornell.edu/~hatcher/TN/TNbook.pdf (Hatcher)
http://bookstore.ams.org/mbk-105/ (Weissman)
http://www.springer.com/us/book/9780387955872 (Noch gut)
Generieren Sie Lösungen der quadratischen diophantinischen Gleichung
Diagramme
Eine weitere quadratische diophantinische Gleichung: Wie gehe ich vor?
So finden Sie Lösungen von $x^2-3y^2=-2$?
Generieren Sie Lösungen der quadratischen diophantinischen Gleichung
Warum kann der Alpertron diese Pell-ähnliche Gleichung nicht lösen?
Finden aller Lösungen der Pell-Gleichung $x^2-5y^2 = -4$
Wenn $(m,n)\in\mathbb Z_+^2$ befriedigt $3m^2+m = 4n^2+n$ dann $(m-n)$ ist ein perfektes Quadrat.
wie man binäre Form löst $ax^2+bxy+cy^2=m$, für ganzzahlig und rational $ (x,y)$ :::: 69 55
Finden Sie alle ganzzahligen Lösungen für die Gleichung $|5x^2 - y^2| = 4$
Positive ganze Zahl $n$ so dass $2n+1$ , $3n+1$ sind beide perfekte Quadrate
Karten von primitiven Vektoren und Conways Fluss, hat jemand dies in SAGE gebaut?
Unendlich viele Systeme von $23$ fortlaufende Ganzzahlen
Lösen Sie die folgende Gleichung für x und y: <1, -1, -1>
Ganzzahlen des Formulars finden $3x^2 + xy - 5y^2$ wo $x$ und $y$ sind ganze Zahlen, die ein Diagramm über die arithmetische Folge verwenden
Kleine integrale Darstellung als $x^2-2y^2$ in Pells Gleichung
Die Gleichung lösen $ x^2-7y^2=-3 $ über ganze Zahlen
Lösungen für diophantinische Gleichungen
Wie kann man beweisen, dass die Wurzeln dieser Gleichung ganze Zahlen sind?
Tut die Pell-ähnliche Gleichung $X^2-dY^2=k$ habe eine einfache Rekursion wie $X^2-dY^2=1$?
http://math.stackexchange.com/questions/1737385/if-d1-is-a-squarefree-integer-show-that-x2-dy2-c-gives-some-bounds-i/1737824#1737824 "Saat"
Finde alle natürlichen Zahlen $n$ so dass $21n^2-20$ ist ein perfektes Quadrat.
Gibt es einen einfachen Beweis dafür, dass wenn $(b-a)(b+a) = ab - 1$, dann $a, b$müssen Fibonacci-Zahlen sein? 1,1, -1; 1,11
Um alle integralen Lösungen von zu finden $3x^2 - 4y^2 = 11$
Wie lösen wir pellartige Gleichungen?
Diophantinische Gleichung $x^2 + xy − 3y^2 = 17$ <1,1, -3>
jagy@phobeusjunior:~$ ./Pell_Target_Fundamental
Automorphism matrix:
9 20
4 9
Automorphism backwards:
9 -20
-4 9
9^2 - 5 4^2 = 1
w^2 - 5 v^2 = 4 = 2^2
Thu Nov 19 10:06:08 PST 2020
w: 2 v: 0 SEED KEEP +-
w: 3 v: 1 SEED KEEP +-
w: 7 v: 3 SEED BACK ONE STEP 3 , -1
w: 18 v: 8 SEED BACK ONE STEP 2 , 0
w: 47 v: 21
w: 123 v: 55
w: 322 v: 144
w: 843 v: 377
w: 2207 v: 987
w: 5778 v: 2584
w: 15127 v: 6765
w: 39603 v: 17711
w: 103682 v: 46368
w: 271443 v: 121393
w: 710647 v: 317811
w: 1860498 v: 832040
w: 4870847 v: 2178309
w: 12752043 v: 5702887
Thu Nov 19 10:06:37 PST 2020
w^2 - 5 v^2 = 4 = 2^2
Dies ist im Wesentlichen eine elliptische Kurve.
Es mag elementare Methoden geben, aber es gibt auch Computeralgebrasysteme, die (in vielen Fällen) diese Art von diophantinischen Gleichungen lösen können.
Wir können die Gleichung wie folgt umschreiben: $m^2n^2 = 5n^6 + 4n^2$.
Wenn wir schreiben $y = 5mn$ und $x = 5n^2$dann wird es $y^2 = x^3 + 20x$.
Jetzt verwenden wir Sage, um alle ganzzahligen Punkte auf dieser Kurve zu finden. Fügen Sie die folgenden Codes in diese Site ein und klicken Sie auf "Auswerten".
EllipticCurve([20, 0]).integral_points()
Die Ausgabe:
[(0 : 0 : 1), (4 : 12 : 1), (5 : 15 : 1), (720 : 19320 : 1)]
Wir sehen, dass die entsprechenden Werte von $(m, n)$ sind $(2,0), (3,1), (322,12)$jeweils (negative Werte sind nicht aufgeführt).
Ein anderer Weg ist eine lange Teilung von $x ^ 5-x-a$ durch das beliebige Trinom $x ^ 2 + bx + c$und setzen Sie den Rest auf Null. Dies gibt den Rest$$(c ^ 2-3b ^ 2c + b ^ 4-1) x + (cb ^ 3-2bc ^ 2-a) = 0$$ von wo wir haben $a = cb (b ^ 2-2c)$ und $c ^ 2-3b ^ 2c + b ^ 4-1 = 0$.
Dies bedeutet, dass für jede Lösung von $c ^ 2-3b ^ 2c + b ^ 4-1 = 0$ Wir haben einen entsprechenden Wert $a = cb (b ^ 2-2c)$.
Einige Lösungen von $c ^ 2-3b ^ 2c + b ^ 4-1 = 0$ sind $(b,c)=(1,3),(0,1),(12,55),(12,377)$.
BEISPIELE.-$(b,c)=(1,3)$ gibt $a=-15$ und wir haben $$x^5-x+15=(x^2+x+3)(x^3-x^2-2x+5)$$ $(b,c)=(12,377)$ gibt $a=-2759640$ und wir haben $$x^5-x+2759640=(x^2+12x+377)(x^3-12x^2-233x+7320)$$